ΕΜΒΑΔΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

#1

ΠΡΟΤΑΣΗ-ΑΣΚΗΣΗ
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι σεβιανές ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ τυχαίου σημείου Ο εσωτερικού του ΑΒΓ (τα Δ,Ε,Ζ ανήκουν στις ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ αντίστοιχα).
Να αποδειχτεί η ισοδυναμία των παρακάτω:
1) ΕΖ//ΒΓ
2)(ΟΑΖ)=(ΟΑΕ)
3)(ΟΒΖ)=(ΟΓΕ)
4)(ΟΒΔ)=(ΟΓΔ)
5)Η ευθεία ΑΟ διχοτομεί την ΒΓ.
6)Η ευθεία ΑΟ διχοτομεί την ΖΕ.

#2

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:και οι σεβιανές

Σεβιανή (cevian από τον Giovanni Ceva ,1647-1734 ) ενός σημείου ως προς μία κορυφή ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το σημείο έχει ένα άκρο την κορυφή και το άλλο στον φορέα της απέναντι πλευράς. Το γράφω γιατί είναι κρίμα να περάσει απαρατήρητη αυτή ή ενδιαφέρουσα άσκηση επειδή, ίσως, δεν έγινε πλήρως κατανοητή η εκφώνηση της.
Μαυρογιάννης

#3

: Andreas.png (44.72 KiB) Προβλήθηκε 1139 φορές

Θα χρησιμοποιήσω το θεώρημα της δέσμης. Δεν συμπεριλαμβάνω απόδειξη γιατί και γνωστή είναι και μικρή.
Οι ισοδυναμίες μπορούν να προκύψουν από τις παρατηρήσεις:
1) $\displaystyle \rm EZ||B\Gamma \Leftrightarrow \frac{ZH}{HE}=\frac{B\Delta }{\Delta \Gamma }\Leftrightarrow \frac{OZ}{O\Gamma }=\frac{OE}{OB}$
2) $\displaystyle \rm \frac{\left( OBZ\right) }{\left( OE\Gamma \right) }=\frac{OZ\cdot OB}{OE\cdot O\Gamma }$
3) $\displaystyle \rm \frac{\left( OAZ\right) }{\left( OAE\right) }=\frac{ZZ_{1}}{EE_{1}}=\frac{ZH}{EH}$
4) $\displaystyle \rm \frac{\left( OB\Delta \right) }{\left( O\Gamma \Delta \right) }=\frac{BB_{1}}{\Gamma \Gamma _{1}}=\frac{B\Delta }{\Gamma \Delta }$
Μαυρογιάννης

#4

Νίκο, χαίρομαι που σου κίνησε το ενδιαφέρον και είναι ιδιαίτερα χρήσιμες και διδακτικές οι παρατηρήσεις σου. Δες όμως λίγο την ισοδυναμία του 1 με το 2 (ή το 5 ή το 6), καθώς νομίζω ότι εκεί υπάρχει η μεγαλύτερη δυσκολία κυρίως αν επιχειρήσει κανείς να χρησιμοποιήσει αποκλειστικά "σχολική ύλη", δηλαδή χωρίς προτάσεις προβολικής γεωμετρίας (Μενέλαος, Ceva, πλήρες τετράπλευρο, κ.λ.π.). Οι άλλες ισοδυναμίες είναι από προφανείς, έως απλές ασκήσεις.
Περιμένω με ενδιαφέρον την άποψη σου.
ΥΓ1. Ελπίζω να τα πούμε από κοντά τον Αύγουστο στο Ηράκλειο, (θα απουσιάζω 13-20 Αυγούστου)
ΥΓ2.Με την ευκαιρία, η πρόσκληση αφορά όλα τα μέλη του Forum, χαρά μου, να γνωριστούμε και από κοντά και γιατί όχι κάποια στιγμή να οργανωθεί μία συνάντηση, όλων των μελών.
Φιλικά
Ανδρέας

#5

Ανδρέα έχεις δίκιο. Έγραψα πολύ συνοπτικά.
Θα θεωρήσω ως δεδομένο το θεώρημα της κεντρικής δέσμης για τρεις ευθείες:

: desmi.png (17.58 KiB) Προβλήθηκε 1088 φορές

Δηλαδή με τις $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ να μην είναι παράλληλες τότε δύο οποιεσδήποτε από τις συνθήκες
α) $\frac{p}{q}=\frac{p^{\prime }}{q^{\prime }}$ ,
β) $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ συντρέχουν
γ) $b_{1}||b_{2}$
συνεπάγονται την τρίτη
Όταν διδάσκω τα όμοια τρίγωνα το διδάσκω πάντα και ας το έχουν εξαιρέσει από την ύλη. Είναι το φυσικό συμπλήρωμα του θεωρήματος του Θαλή. Για το θέμα μας τώρα:
$(2)\Leftrightarrow(6)$ $\rm \left( OAZ\right) =\left( OAE\right) \Leftrightarrow \frac{\left( OAZ\right) }{\left( OAE\right) }=1\Leftrightarrow \frac{ZH}{EH}=1\Leftrightarrow ZH=EH$
$(4)\Leftrightarrow(5)$ Παρόμοια με το προηγούμενο
$(3)\Leftrightarrow(1)$ $\rm \left( OBZ\right) =\left( OE\Gamma \right) \Leftrightarrow \frac{\left( OBZ\right) }{\left( OE\Gamma \right) }=1\Leftrightarrow \frac{OZ\cdot OB}{OE\cdot O\Gamma }=1\Leftrightarrow \frac{OZ}{O\Gamma }=\frac{OE}{OB}\Leftrightarrow ZE||B\Gamma$
$(1)\Leftrightarrow(5)$ Το ευθύ είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος της δέσμης αφού $\rm \frac{B\Delta }{\Delta \Gamma }=\frac{ZH}{HE},\,\ \ \frac{B\Delta }{\Delta \Gamma }=\frac{HE}{ZH}$ . To αντίστροφο θέλει ένα επιχείρημα με απαγωγή στο άτοπο. Αν υποτεθεί ότι η $\rm ZE$ δεν είναι παράλληλη στην $\rm B\Gamma$ τότε η παράλληλη θα είναι κάποια άλλη ας πούμε η $\rm ZE^{\prime }$ που θα τέμνει την $\rm A\Delta$ στο $\rm H^{\prime }$ το οποίο θα είναι από το θεώρημα δέσμης και αυτό μέσο. Οπότε και η τριάδα των ευθειών $\rm BE^{\prime },\Gamma Z,H^{\prime }\Delta$ είναι κεντρική δέσμη και αυτό μας οδηγεί σε άτοπο.
$(1)\Leftrightarrow(6)$ 'Όμοια με την προηγούμενη
Μαυρογιάννης
ΥΓ Ελπίζω να τα πούμε σύντομα στην Κρήτη

#6

Πραγματικά το Θ. Κεντρικής Δέσμης (Θ.Κ.Δ.) θα έπρεπε να διδάσκεται στα σχολεία μας, αλλά εδώ δεν διδάσκονται καλα-καλά ούτε οι αναλογίες, (αν υποθέσουμε ότι διδάσκεται Γεωμετρία). Τουλάχιστον με τα νέα βιβλία του Γυμνασίου και βλέποντας ότι έχει συμπεριληφθεί η ομοιοθεσία στην γ τάξη, (που έχει άμεση σχέση με το παραπάνω θεώρημα), ελπίζω σιγα σιγα να επανέλθει η Γεωμετρία στο εκπ/κό μας σύστημα.

Μία άλλη αντιμετώπιση χωρίς χρήση της εις άτοπο απαγωγής και του (Θ.Κ.Δ.), είναι (δανειζόμενος το αρχικό σου σχήμα), είναι να πάρουμε το συμμετρικό Ο'του Ο ως προς το μέσον της ΒΓ, οπότε από τις παραλληλίες ΒΟ//Ο'Γ και ΓΟ//Ο'Β, προκύπτουν οι ισότητες:
ΑΖ/ΑΒ=ΑΟ/ΑΟ'=ΑΕ/ΑΓ, δηλαδή ΕΖ//ΒΓ

ΕΜΒΑΔΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

ΕΜΒΑΔΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

Re: ΕΜΒΑΔΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

Re: ΕΜΒΑΔΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

Re: ΕΜΒΑΔΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

Re: ΕΜΒΑΔΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

Re: ΕΜΒΑΔΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ

Μέλη σε σύνδεση