Δύο ομαλοί τόποι

KARKAR · #1

Οι κύκλοι $(O, \rho)$ και (K, R)

εφάπτονται εξωτερικά στο

, και έστω

μία κοινή εξωτερική τους εφαπτόμενη .

Σημείο

κινείται επί του κύκλου (O)

και η

τέμνει τον άλλο κύκλο στο σημείο

.

1) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου

του τμήματος

.

2) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής

, των

και

3) Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της απόστασης (MS)

S.E.Louridas · #2

Από γνωστό πρόβλημα (αν φέρουμε την κοινή εφαπτομένη των κύκλων..) παίρνουμε:

$\angle PAQ = 90^ \circ \Rightarrow \angle BAP + \angle QAC = 90^ \circ \Rightarrow \angle SPQ + \angle PQS = 90^ \circ \Rightarrow \angle QSP = 90^ \circ .$

Άρα ο γ. τ. είναι η περιφέρεια διαμέτρου PQ.

Το ελάχιστο επιτυγχάνεται όταν το

γίνει ελάχιστο δηλαδή όταν $C \equiv A.$

S.E.Louridas

#3

: Δύο γεωμετρικοί τόποι.PNG (18.84 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές

Με περισσότερα λόγια από τη λύση του Σωτήρη.

1ο) Επειδή $\displaystyle{BO//KC}$ και $\displaystyle{ L, M}$ μέσα αντίστοιχα των $\displaystyle{OK, BC}$ θα είναι:
$\displaystyle LM=//\frac{R-r}{2} \ \ (1)$
Άρα το σημείο $\displaystyle{M}$ ανήκει σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{L}$ και ακτίνας $\rho =\frac{R-r}{2}$

2ο ) Επειδή:
$\displaystyle \hat{\omega _1}+\hat{\varphi _1}=90^o$
(γιατί η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο αρχικών κύκλων ορίζει το μέσο
στην κοινή εξωτερική εφαπτομένη και δημιουργείται το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{APQ}$ )
Άρα:
$\displaystyle \hat{\omega }+\hat{\varphi }=90^o$
άρα από το τρίγωνο $\displaystyle{BSC}$ προκύπτει:
$\displaystyle{\hat{S}=90^o}$ .
Άρα ο γ.τ. του σημείου αυτού είναι ο κύκλος διαμέτρου $\displaystyle{PQ}$ .

3o) Επειδή είναι $\displaystyle SM=\frac{BC}{2}\leq \frac{2OK}{2}=OK$
(γιατί η τέμνουσα $\displaystyle{BAC}$ των δύο αρχικών κύκλων είναι μικρότερη από την τέμνουσα που διέρχεται από τα κέντρα των δύο κύκλων)
Άρα η μέγιστη τιμή για το τμήμα αυτό είναι η διάκεντρος $\displaystyle{OK}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Δύο ομαλοί τόποι

Δύο ομαλοί τόποι

Re: Δύο ομαλοί τόποι

Re: Δύο ομαλοί τόποι

Μέλη σε σύνδεση