Φαύλος ημίκυκλος

KARKAR · #1

Σε ημικύκλιο διαμέτρου

, είναι σχεδιασμένη χορδή

1) Πώς θα σχεδιάσουμε άλλο ημικύκλιο , το οποίο να εφάπτεται του αρχικού στο

, αλλά και της χορδής (σε σημείο

);

2) Αν $ST\perp AB$ , και γνωρίζουμε τη γωνία $\phi$ , ας βρούμε και τη γωνία $\theta$

#2

Θα δώσω την περιγραφή της όμορφης κατασκευής που πρότεινε ο Θανάσης. Αν δεν προλάβει κάποιος ξενύχτης φίλος στο

(που δεν νομίζω ... να υπάρχει περίπτωση), αύριο αναλυτική (εννοώ εκτενής, όχι με Αναλυτική Γεωμετρία...

) απάντηση.

: 23-01-2012 Γεωμετρία.jpg (24.67 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Προεκτείνουμε την

, ώσπου να συναντήσει σε σημείο

την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

.

Με κέντρο το

και ακτίνα

κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει την

στο

.

Πράγματι, είναι KB = KS

, ως εφαπτόμενες από κοινό σημείο

στον ίδιο κύκλο.

Το κέντρο του υπό κατασκευή κύκλου είναι η τομή της μεσοκαθέτου της

με την

.

#3

: Ημικύκλια κλπ.PNG (8.53 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

1ο) Κατασκευή του ημικυκλίου $\displaystyle{(K,KB)}$ .
Από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{AKS}$ και $\displaystyle{ABC}$ προκύπτει:
$\displaystyle \frac{KS}{BC}=\frac{AK}{AB}\Leftrightarrow \frac{KB}{BC}=\frac{AK}{AB}\Leftrightarrow \frac{R-OK}{\sqrt{4R^2-AC^2}}=\frac{R+OK}{2R} \ \ (1)$
Αν θέσουμε: $\displaystyle{OK=d}$ και $\displaystyle{AC=m}$ τότε λύνοντας την (1) ως προς $\displaystyle{d}$ προκύπτει:
$\displaystyle d=\frac{R\left(2R-\sqrt{4R^2-m^2} \right)^2}{m^2} \ \ (2)$
Το τμήμα $\displaystyle{d}$ από τη μορφή που έχει κατασκευάζεται. Άρα το σημείο $\displaystyle{K}$ ορίζεται με χάρακα και διαβήτη και συνεπώς κι ο κύκλος.
(έτσι ακριβώς κατασκευάστηκε στο αναρτημένο σχήμα)

2ο)Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{STBC}$ προκύπτει η ισότητα των γωνιών που φαίνονται στο σχήμα. Ακόμα
από τη γωνία της χορδής και της εφαπτομένης στο σημείο $\displaystyle{S}$ προκύπτει ότι:
$\displaystyle \hat{BKS}=2\hat{\theta }$
κι επειδή η γωνία αυτή είναι εξωτερική στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ASK}$ θα είναι:
$\displaystyle 2\hat{\theta }=90^o+\hat{\varphi }\Rightarrow \hat{\theta }=45^o+\frac{\hat{\varphi }}{2}$

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #4

Ο τρόπος που κατασκευάστηκε το αρχικό σχήμα : Αν η εφαπτομένη του αρχικού ημικυκλίου στο

και η

τέμνονται στο

, η διχοτόμος της γωνίας $\widehat{AKB}$ , τέμνοντας την

στο

, ορίζει

το κέντρο του ζητούμενου ημικυκλίου , αφού τότε προφανώς OB=OS

και $OS\perp AC$ .

Παρατηρήστε ( αποδείξτε ! ) την παραλληλία των : KO , CT

, καθώς και την ισότητα των : SC , ST

S.E.Louridas · #5

Ας δώσω και εγώ με την σειρά μου την ημέτερη διαπραγμάτευση στο κομμάτι της Πλήρους Κατασκευής και μόνο για λόγους πλουραλισμού.
Κατασκευάζουμε τυχόντα κύκλο,
$\left( {B,BD = BE} \right),\;D \in BA\;\kappa \alpha \dot \iota \;E \in BC\;\kappa \alpha \dot \iota \;\tau o\;M,\tau o\mu \dot \eta \;\tau \omega \nu \;\kappa \dot \upsilon \kappa \lambda \omega \nu \;\left( {E,EB} \right),\;\left( {D,DB} \right).$
Προσδιορίζουμε το $S \equiv AC \cap BM,$ με το κέντρο

του ζητούμενου κύκλου σαν τομή της μεσοκάθετης του

με την

Συνεπώς ο ζητούμενος κύκλος είναι ο (K, KB)

(είναι ο κόκκινος κύκλος).

Για το 2ο, έχουμε:
Από την κατασκευή που προαναφέρθηκε, έχουμε άμεσα:
$\angle STC = \angle SCT \Rightarrow \varphi + 2\left( {90^ \circ - \vartheta } \right) = 90^ \circ \Rightarrow \vartheta = 45^ \circ + \frac{\varphi } {2}.$

S.E.Louridas

Φαύλος ημίκυκλος

Φαύλος ημίκυκλος

Re: Φαύλος ημίκυκλος

Re: Φαύλος ημίκυκλος

Re: Φαύλος ημίκυκλος

Re: Φαύλος ημίκυκλος

Μέλη σε σύνδεση