Βρείτε τη γωνία x (117)

Ιστοσελίδα · #1

Καλή Ανάσταση

: x117.jpg (45.8 KiB) Προβλήθηκε 902 φορές

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,(\widehat A = {90^ \circ })$ και εσωτερικό σημείο του

, τέτοιο ώστε $D\widehat AB = D\widehat BC = D\widehat CA = x$ . Δείξτε ότι $x \simeq {26,57^ \circ }$ .
Ευχαριστώ τον Κώστα και τον Θάνο. Χριστός Ανέστη, χρόνια πολλά.

#2

: Γωνία χ.PNG (11.85 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

Κατ' αρχήν το σημείο $\displaystyle{D}$ είναι ένα από τα δύο σημεία του Broocard του
ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle{ABC}$
Η κατασκευή του γίνεται με την κατασκευή των δύο κύκλων:
1ος) Εκείνος που διέρχεται από την κορυφή $\displaystyle{B}$ και εφάπτεται της $\displaystyle{AC}$ στην κορυφή $\displaystyle{C}$ (πράσινος)
2ος) Εκείνος που διέρχεται από την κορυφή $\displaystyle{B}$ και εφαπτεται της $\displaystyle{AC}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ (κόκκινος)
Η τομή των δύο αυτών κύκλων είναι το σημείο αυτό.

Ύστερα απ' αυτά το $\displaystyle{ACOB}$ είναι τετράγωνο και είναι:
$\displaystyle tanx=\frac{BK}{OB}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=arctan(0.5)=26.565...$ σε μοίρες.
(Έγινε χρήση τριγωνομετρίας, και μάλιστα λογισμικού για τον υπολογισμό της τιμής αυτής)

Σημείωση:
Το δεύτερο σημείο του Broocard είναι το σημείο τομής του πράσινου κύκλου και του κύκλου με διάμετρο την $\displaystyle{AC}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Ευχές: Μιχάλη Καλή Ανασταση,ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ, ΌΜΟΡΦΑ, ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΆ.

#3

Όπως αναφέρει και ο Κώστας Δόρτσιος παραπάνω, το σημείο $\displaystyle{D}$ είναι το ένα σημείο Brocard του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

Ας θυμίσουμε, ότι γενικότερα ισχύει για τη γωνία Brocard $\displaystyle{x}$ τριγώνου $\displaystyle{ABC}$

$\displaystyle{\boxed{\cot x=\cot A+\cot B+\cot C}}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

Μια απόδειξη αυτής είδαμε και εδώ.

Στο προκείμενο πρόβλημα, είναι $\displaystyle{A=90^0,B=C=45^0,}$ οπότε βρίσκουμε $\displaystyle{\cot x=2}$ και τελικά $\displaystyle{x=\arccot 2\simeq 26,57^0.}$

#4

καλημέρα και πάλι χρόνια πολλά
στο αποτέλεσμα που μας δίνει ο Θάνος

matha έγραψε:οπότε βρίσκουμε $\displaystyle{\cot x=2}$ και τελικά $\displaystyle{x=\arccot 2\simeq 26,57^0.}$

μπορούμε να καταλήξουμε και με τριγωνομετρική μορφή CEVA

$\displaystyle{\frac{\sin(90-x)}{\sin x}\cdot \frac{\sin(45-x)}{\sin x}\cdot \frac{\sin(45-x)}{\sin x}=1\Rightarrow }$

$\displaystyle{\sin^3 x=\cos x(\frac{1-\sin 2x}{2})\Rightarrow 2\sin^3 x=\cos x(1-2\sin x~ \cos x)\Rightarrow 2\sin x=\cos x\Rightarrow \cot x=2}$

#5

Φωτεινή καλημέρα και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!!
Επίτρεψέ μου να αναρτήσω το θεώρημα του Ceva σε τριγωνομετρική μορφή
με τη βοήθεια του οποίου έλυσες την άσκηση αυτή.

: Ceva.PNG (6.32 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές

Το θεώρημα του Ceva είναι γνωστό με τη μορφή:
"Αν τα σημεία $\displaystyle{D,E,Z}$ ανήκουν στους φορείς των πλευρών $\displaystyle{BC, CA, AB}$ αντίστοιχα τότε μια ικανή
και αναγκαία συνθήκη ώστε οι τρείς ευθείες που ορίζονται από τα τμήματα $\displaystyle{AD, BE, CZ}$ να διέρχονται
από το ίδιο σημείο είναι":
$\displaystyle \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=1 \ \ (1)$

Όμως:
$\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{E(ABD)}{E(ADC)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot sinA_1}{\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AC\cdot sinA_2}\Rightarrow \\ \\\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}\cdot \frac{sinA_1}{sinA_2} \ \ (2)$

Όμοια είναι:
$\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{a}{c}\cdot \frac{sinB_1}{sinB_2} \ \ (3)$

$\displaystyle \frac{AZ}{ZB}=\frac{b}{a}\cdot \frac{sinC_1}{sinC_2} \ \ (4)$

Από τις (2), (3) και (4) η σχέση (1) γίνεται ισοδύναμα:
$\displaystyle \displaystyle \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=1\Leftrightarrow \frac{abc}{abc}\cdot \frac{sinA_1}{sinA_2}\cdot \frac{sinB_1}{sinB_2}\cdot \frac{sinC_1}{sinC_2}=1\Leftrightarrow \\ \\\Leftrightarrow \frac{sinA_1}{sinA_2}\cdot \frac{sinB_1}{sinB_2}\cdot \frac{sinC_1}{sinC_2}=1$

Η τελευταία σχέση είναι και η τριγωνομετρική έκφραση του θεωρήματος του Ceva.

Κώστας Δόρτσιος

Βρείτε τη γωνία x (117)

Βρείτε τη γωνία x (117)

Re: Βρείτε τη γωνία x (117)

Re: Βρείτε τη γωνία x (117)

Re: Βρείτε τη γωνία x (117)

Re: Βρείτε τη γωνία x (117)

Μέλη σε σύνδεση