Γωνία στον κύβο

#1

Άσκηση που μου έστειλε ένας μαθητής μου.
Να βρεθεί πόσες μοίρες είναι η γωνία του σχήματος

#2

Έστω κύβος ακμής 2.

: kyvos.png (3.96 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

Χωρίζουμε τον κύβο σε 4 ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με διαστάσεις 2, 1 και 1, όπως στο σχήμα.
Η ΑC είναι διαγώνιος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με ακμές 2, 1 και 1 αντίστοιχα, άρα είναι $\left( {AC} \right) = \sqrt {2^2 + 1^2 + 1^1 } = \sqrt 6$ .
Επίσης, $\left( {AB} \right) = \left( {BC} \right) = \sqrt 2$ από Πυθ. Θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται.

Από Ν. Συνημιτόνων στο ΑΒC (θεωρητικά διδάσκεται και στην Γ΄ Γυμνασίου), έχουμε:

$\left( {AC} \right)^2 = \left( {AB} \right)^2 + \left( {BC} \right)^2 -2\left( {AB} \right)\left( {BC} \right)\sigma \upsilon \nu {\rm A}\widehat{\rm B}C$
$\Rightarrow\sigma \upsilon \nu {\rm A}\widehat{\rm B}C = \frac{{2 + 2 - 6}}{{2 \cdot 2}} = - \frac{1}{2}$ , οπότε ${\rm A}\widehat{\rm B}C = 120^\circ$

Γιώργος Ρίζος

p_gianno · #3

Μια ακόμη λύση στο συνημμένο

cube.pdf: (43.95 KiB) Μεταφορτώθηκε 77 φορές

Π.Γ

#4

Μπορούμε επίσης να συμπεράνουμε άμεσα ότι $\angle ABC = 120^{o},$ αν δούμε ότι οι πλευρές $AB,\ BC$ του τριγώνου $\bigtriangleup ABC,$ είναι και πλευρές του κανονικού εξαγώνου που ορίζεται ως η τομή του δοσμένου κύβου, από το επίπεδο του $\bigtriangleup ABC.$

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Συμπληρώστε το σχήμα του Παναγιώτη, που με πρόλαβε.

#5

vittasko έγραψε:Μπορούμε επίσης να συμπεράνουμε άμεσα ότι $\angle ABC = 120^{o},$ αν δούμε ότι οι πλευρές $AB,\ BC$ του τριγώνου $\bigtriangleup ABC,$ είναι και πλευρές του κανονικού εξαγώνου που ορίζεται ως η τομή του δοσμένου κύβου, από το επίπεδο του $\bigtriangleup ABC.$

Μεγαλη ιστορια αυτο το εξαγωνο, ο "ισημερινος" του κυβου... Εμαθα γι' αυτο μονον οταν ασχοληθηκα με τις ισομετριες του κυβου και ειδικοτερα με την στροφανακλαση (rotoreflection), που ειναι συνδυασμος τρισδιαστατης ανακλασης και καθετης προς αυτην στροφης. Το ειχα ζωγραφισμενο στους κυβους που χρησιμοποιουσαν οι φοιτητες μου: αυτο δεν ηταν αρκετο διοτι *ειναι αδυνατον να το δει κανεις ολοκληρο απ' οπου και να αντικρυζει τον κυβο*, οποτε ειχα κοψει εναν κυβο σε δυο ισα τμηματα και τους εδειχνα την τομη, και κολλουσα και τον ημικυβο στον τοιχο για πειστηριο

To κανονικο εξαγωνο εμφανιζεται σε εξi παραδειγματα κυβικης στροφανακλασης (examples in the cube) που παραθετω στο τελος της σχετικης ιστοσελιδας: μπορειτε να τα απολαυσετε χωρις να εμβαθυνετε στα μυστηρια της στροφανακλασης!

Γιωργος Μπαλογλου

Γωνία στον κύβο

Γωνία στον κύβο

Re: Γωνία στον κύβο

Re: Γωνία στον κύβο

Re: Γωνία στον κύβο

Re: Γωνία στον κύβο

Μέλη σε σύνδεση