Ορθογώνιο τρίγωνο - Ομοιότητα

#1

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ και έστω r_1,r_2

οι ακτίνες των εγγεγραμένων κύκλων των τριγώνων ΑΔΒ,ΑΔΓ.Ας είναι Κ,Λ τα κέντρα των κύκλων αυτών. Να αποδειχθεί ότι :

α) r_1^2 + r_2^2 = r^2

, όπου

είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

β) Η ευθεία ΚΛ σχηματίζει με τις κάθετες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο .

γ) ΚΛ = ΑΙ, όπου Ι είναι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

Μπάμπης

#2

καλησπέρα σας

δινω μια απαντηση για το α)

συμβολιζω

$E,\tau ,r$ το εμβαδο,την ημιπεριμετρο και την ακτινα του εγγεγραμμενου κυκλου του τριγωνου ΑΒΓ

με $E_{1},\tau _{1},r_{1}$ του ΑΔΒ και με $E_{2},\tau _{2},r_{2}$ του ΑΔΓ

$\tau =\frac{a+\beta +\gamma }{2},\tau _{1}=\frac{\gamma \tau }{a},\tau _{2}=\frac{\beta \tau }{a}$ αφου

ισχυουν $\gamma ^{2}=a\Delta B,\beta ^{2}=a\Delta \Gamma ,U_{a}=\frac{\beta \gamma }{a}$

τα τριγωνα ΑΔΒ,ΑΒΓ ειναι ομοια --> $E_{1}=(\frac{\gamma }{a})^{2}E$ .(1)

επισης τα ΑΔΓ ,ΑΒΓ --> $E_{2}=(\frac{\beta }{a})^{2}E$ .(2)

εχουμε

$E_{1}=\tau_{1}r_{1}=...=\frac{\gamma \tau r_{1}}{a}\Rightarrow r_{1}=\frac{aE_{1}}{\gamma \tau}$ .(3)

και $E_{2}=\tau_{2}r_{2}=...=\frac{\beta \tau r_{2}}{a}\Rightarrow r_{2}=\frac{aE_{2}}{\beta \tau}$ .(4)

απο (3),(4) και με τη βοηθεια των (1),(2) βρισκουμε $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}=r^{2}$

p_gianno · #3

Καλησπέρα
Δίνω μια απάντηση στην άσκηση

: bisectors1.png (41.59 KiB) Προβλήθηκε 1574 φορές

: bisectors2.png (16.53 KiB) Προβλήθηκε 1574 φορές

Πάνος

Ορθογώνιο τρίγωνο - Ομοιότητα

Ορθογώνιο τρίγωνο - Ομοιότητα

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο - Ομοιότητα

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο - Ομοιότητα

Μέλη σε σύνδεση