Γεωμετρείν 76

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Έστω τετράγωνο ABCD

. Επί των πλευρών του DC,DA

λαμβάνουμε σημεία E,F

αντίστοιχα έτσι ώστε η γωνία EBF

να έχει μέτρο

μοίρες. Δείξτε ότι EF=AF+EC

.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 76.PNG (24.25 KiB) Προβλήθηκε 1135 φορές

Ιστοσελίδα · #2

Δημήτρη καλημέρα.

: Γεωμετρείν-76.png (10.45 KiB) Προβλήθηκε 1104 φορές

Με στροφή του τριγώνου BAF

κατά ${90^ \circ }$ δεξιά ως προς

(τρίγωνο

) και από την ισότητα των τριγώνων $BFE,\,BGE\,(\Pi - \Gamma - \Pi )$ προκύπτει EF = EG = CG + EC = AF + EC

.

thanasis.a · #3

: draw1.png (25.74 KiB) Προβλήθηκε 1054 φορές

..καλησπέρα..

$Z: AZ=EC\Rightarrow \bigtriangleup ZAB=\bigtriangleup BEC a)ZA=EC ,b)\hat{ZAB}=\hat{ECB}=90^{\circ} , c) AB=BC$
$\alpha \rho \alpha , ZB=BC \wedge \hat{ZBA}=\hat{EBC}=\omega \Rightarrow \hat{ZBC}=\hat{ZBA}+\hat{ABF}+\hat{FBE}=\omega +\chi +45=90^{\circ} \Rightarrow \bigtriangleup ZBEo\rho \vartheta o\gamma \omega \nu \iota o-\iota \sigma o\kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma \Rightarrow \hat{BEZ}=\hat{BZE}=45^{\circ}$

$\hat{RBE}=45^{\circ} \wedge \hat{BEP}=45^{\circ} \Rightarrow BP \upsilon \psi o\varsigma \Rightarrow BP, \delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma \Rightarrow \bigtriangleup ZEF, FP\upsilon \psi o\varsigma ,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma \Leftrightarrow ZF=FE\Rightarrow ZA+AF=FE\mathop\Rightarrow \limits^{ZA=EC}EC+AF=FE$

p_gianno · #4

Φέρω $BT \perp FE$

ABTF

εγγράψιμο $\rightarrow FAT=FBT= \phi \rightarrow BAT=90^0-\phi$ ομοίως

$\angle BCT=90^0- \omega$

Από το τετράπλευρο BATC

έχουμε $ATC=360^0-(90-\omega)-(90-\phi )=135^0$ αφού $\omega + \phi =FBE=45^0$

Συνεπώς

σημείο του κύκλου (B,BA)

άρα

εφαπτομένη του κύκλου με αποτέλεσμα AF=FT

και

άρα

Παρόμοιας αντίληψης είναι και η άσκηση στον σύνδεσμο http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/284_13.html

Δημήτρης Μυρογιάννης · #5

p_gianno έγραψε:Φέρω $BT \perp FE$

εγγράψιμο $\rightarrow FAT=FBT= \phi \rightarrow BAT=90^0-\phi$ ομοίως

$\angle BCT=90^0- \omega$

Από το τετράπλευρο έχουμε $ATC=360^0-(90-\omega)-(90-\phi )=135^0$ αφού $\omega + \phi =FBE=45^0$

Συνεπώς σημείο του κύκλου άρα εφαπτομένη του κύκλου με αποτέλεσμα και άρα

Παρόμοιας αντίληψης είναι και η άσκηση στον σύνδεσμο http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/284_13.html

Συγχαρητήρια για τη λύση σου... αλλά ο σύνδεσμος που προτείνεις ... πρώτον είναι άσχετος με τη συγκεκριμένη άσκηση και δεύτερον έχει προταθεί και λυθεί από τη δική μας ομάδα εδώ στο mathematica ....

Δημήτρης Μυρογιάννης · #6

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις…. να είστε όλοι καλά…. μετά από πολύ κόπο βρήκα (και εγώ) μία (διαφορετική) λύση:

Από το σημείο

φέρουμε κάθετη στην

η οποία θα τμήσει την

στο σημείο

και την

στο σημείο

και το οποίο ενώνουμε με το σημείο

.
Η σύγκριση των ορθ. τριγώνων BFN,HEM

δίνει την ισότητα των διαγωνίων του τετραπλεύρου HFEB

η οποία σε συνδυασμό με τις γωνίες των

μοιρών το καθιστά ισοσκελές τραπέζιο .
Είναι λοιπόν EF=BH .

Τώρα επί της

παίρνουμε σημείο

τέτοιο ώστε EG=AF

και αρκεί να δείξουμε ότι BH=CG .

Φέρουμε την HG .

Το εγγράψιμο τετράπλευρο FDEJ

πιστοποιεί την ισότητα των μωβ γωνιών οι οποίες μαζί με τις ισότητες EG=AF, HE=BF

δεικνύουν την ισότητα των τριγώνων AFB,HGE

.
Η γωνία λοιπόν EGH

είναι ορθή, το τετράπλευρο HGCB

ορθογώνιο παρ/μο και φυσικά BH=CG .

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 76 ΛΥΣΗ.PNG (24.59 KiB) Προβλήθηκε 914 φορές

p_gianno · #7

maths-!!! έγραψε:
Συγχαρητήρια για τη λύση σου... αλλά ο σύνδεσμος που προτείνεις ... πρώτον είναι άσχετος με τη συγκεκριμένη άσκηση και δεύτερον έχει προταθεί και λυθεί από τη δική μας ομάδα εδώ στο mathematica ....

Δεν καταλαβαίνω ούτε το ύφος ούτε το ήθος της μεταμεσονύκτιας παρέμβασής σου .
Τέλος πάντων θα σου απαντήσω.
Και στις δύο ασκήσεις υπάρχει μία μεταβλητή γωνία σταθερού μέτρου ( 45^0

η

). Όι κορυφές και των δύο αυτών γωνιών (μπλε κουκίδες) είναι παράκεντρα των μπλε τριγώνων. Εγώ βλέπω μια σχετικότητα.
Προς επίρρωση των λεγομένων μου ανεβάζω στην διεύθυνση https://www.box.com/s/c1acf300daecc34fcb4d δύο λύσεις της άσκησης με τρίγωνο . Μία λύση όπως διαπραγματεύτηκα το τετράγωνο στο προηγούμενο ποστ και μία λύση κατά ένα μέρος διαφοροποιημένη με χρήση στροφής όπως κάνει ο Μιχάλης πιο πριν σε αυτό το θέμα εδώ.

maths-!!! έγραψε: δεύτερον έχει προταθεί και λυθεί από τη δική μας ομάδα....

Δεν πρότεινα τίποτα. Είπα απλώς ότι είναι παρόμοιας αντίληψης.

Δημήτρης Μυρογιάννης · #8

p_gianno έγραψε:
maths-!!! έγραψε:
Συγχαρητήρια για τη λύση σου... αλλά ο σύνδεσμος που προτείνεις ... πρώτον είναι άσχετος με τη συγκεκριμένη άσκηση και δεύτερον έχει προταθεί και λυθεί από τη δική μας ομάδα εδώ στο mathematica ....
Δεν καταλαβαίνω ούτε το ύφος ούτε το ήθος της μεταμεσονύκτιας παρέμβασής σου .
Τέλος πάντων θα σου απαντήσω.
Και στις δύο ασκήσεις υπάρχει μία μεταβλητή γωνία σταθερού μέτρου ( η ). Όι κορυφές και των δύο αυτών γωνιών (μπλε κουκίδες) είναι παράκεντρα των μπλε τριγώνων. Εγώ βλέπω μια σχετικότητα.
Προς επίρρωση των λεγομένων μου ανεβάζω στην διεύθυνση https://www.box.com/s/c1acf300daecc34fcb4d δύο λύσεις της άσκησης με τρίγωνο . Μία λύση όπως διαπραγματεύτηκα το τετράγωνο στο προηγούμενο ποστ και μία λύση κατά ένα μέρος διαφοροποιημένη με χρήση στροφής όπως κάνει ο Μιχάλης πιο πριν σε αυτό το θέμα εδώ.

maths-!!! έγραψε: δεύτερον έχει προταθεί και λυθεί από τη δική μας ομάδα....
Δεν πρότεινα τίποτα. Είπα απλώς ότι είναι παρόμοιας αντίληψης.

Ύφος ναι (που λέει και ο Σωτήρης) , περί ήθους όμως ατυχής ο λόγος.
Η παρέμβαση μου στόχευε τον «σύνδεσμο» και σε καμία περίπτωση το πρόσωπο σου.

#9

Ας δώσω μια ακόμα λύση στην ωραία άσκηση του Δημήτρη.

: 17-7-2011 Γεωμετρία.jpg (24.55 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου, $\displaystyle \widehat{CBE} = \omega ,\;\;\widehat{ABF} = \phi ,\;\;CE = a,\;\;AF = b$

Στο BEC

είναι $\displaystyle \varepsilon \phi \omega = a,$ στο AFB

$\displaystyle \varepsilon \phi \phi = b$

Είναι $\displaystyle \omega + \phi = 45^0 \Rightarrow \varepsilon \phi \left( {\omega + \phi } \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\varepsilon \phi \omega + \varepsilon \phi \phi }}{{1 - \varepsilon \phi \omega \cdot \varepsilon \phi \phi }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{{1 - ab}} = 1$

$\displaystyle\Leftrightarrow a + b = 1 - ab$

Είναι, προφανώς, ab < 1

, αφού

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο FED

, είναι

$\displaystyle FE^2 = FD^2 + DE^2 = \left( {1 - b} \right)^2 + \left( {1 - a} \right)^2 = 2 + a^2 + b^2 - 2\left( {a + b} \right)$

Οπότε $\displaystyle FE^2 = 2 + a^2 + b^2 - 2\left( {1 - ab} \right) = \left( {a + b} \right)^2 \Leftrightarrow FE = CE + AF$

Γεωμετρείν 76

Γεωμετρείν 76

Re: Γεωμετρείν 76

Re: Γεωμετρείν 76

Re: Γεωμετρείν 76

Re: Γεωμετρείν 76

Re: Γεωμετρείν 76

Re: Γεωμετρείν 76

Re: Γεωμετρείν 76

Re: Γεωμετρείν 76

Μέλη σε σύνδεση