ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

polysindos · #1

Αν το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι 2cm

και η διάμεσος που αντιστοιχεί σε μια κάθετη πλευρά είναι 3cm

ποιό είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου;

#2

Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με $\displaystyle{\hat{A}=90^o}$ ,
$\displaystyle{\upsilon_a=2}$ και χωρίς βλάβη της γενικότητας $\mu_c=3$ .

Τότε με βάση το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: $\displaystyle{a^2=b^2+c^2 (I)}$ .

Επίσης ισχύει $\displaystyle{bc=a\upsilon_a}$ , οπότε $\displaystyle{bc=2a (II)}$

Τέλος από το θεώρημα των διαμέσων ισχύει
$\displaystyle{b^2+a^2=2\mu_c^2+\frac{c^2}{2}}$ ,

οπότε $\displaystyle{b^2+a^2=18+\frac{c^2}{2} (III)}$ .

Λύνοντας το σύστημα των (I),(II),(III)

και αφού

,

έχουμε ότι: $\displaystyle{(a,b,c)=(3\sqrt{2},\sqrt{6},2\sqrt{3})}$ .

Επομένως το ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα ίση με $\displaystyle{3\sqrt{2}}$ και κάθετες πλευρές $\sqrt{6},2\sqrt{3}$ .

#3

Καλησπέρα. Λίγο ανορθόδοξα και οπωσδήποτε με κάποια ταλαιπωρία .
Ίσως θετικό το ότι το σχήμα «δείχνει» την κατασκευή ενός τέτοιου τριγώνου.

Έστω AN = 2

το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου $ABC\,(\hat A = {90^0})$ και

η

απόσταση του μέσου

της

από την υποτείνουσα

.

Επειδή $MH// = \displaystyle\frac{{AN}}{2}$ θα έχουμε: $MH = 1\,,\,NH = HC = x$ . Ας πούμε και

BN = y

. Από το ορθογώνιο τρίγωνο HBM

έχουμε:

$B{H^2} = M{B^2} - M{H^2} = 9 - 1 = 8 \Rightarrow x + y = 2\sqrt 2$ (1)

Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο ANC

$A{C^2} = A{N^2} + N{C^2} \Rightarrow 4M{C^2} = 4 + 4{x^2} \Rightarrow M{C^2} = {x^2} + 1$ (2)

και από την δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο διαμέτρου

έχουμε:

$MC \cdot CA = CH \cdot CB \Rightarrow 2M{C^2} = x(x + x + y)\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} 2({x^2} + 1) = x(x + 2\sqrt 2 )$ .

Η τελευταία γίνεται ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow {(x - \sqrt 2 )^2} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2$ .

Έτσι και λόγω της (1) $x = y = BN = NH = HC = \sqrt 2$ ,

Μετά απ’ αυτά: $(ABC) = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 3\sqrt 2 \cdot 2 = 3\sqrt 2$

Φιλικά Νίκος

#4

Ας δώσουμε και την ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ εκδοχή, που, ομολογώ ότι, με εξέπληξε όταν είδα πόσο απλά ξεδιπλωνόταν η λύση....

: 21-9-2012 Γεωμετρία.jpg (10.36 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο A(0, 0)

παίρνουμε τα σημεία B(c, 0), C(0, b), b, c > 0

, που είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου.

Είναι $\displaystyle BC:\;\;y = - \frac{b}{c}\left( {x - c} \right) \Leftrightarrow bx + cy - bc = 0$ , οπότε

$\displaystyle d\left( {A,\;BC} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {b \cdot 0 + c \cdot 0 - bc} \right|}}{{\sqrt {b^2 + c^2 } }} = 2 \Leftrightarrow b^2 \cdot c^2 = 4b^2 + 4c^2$ (1)

Αν $\displaystyle M\left( {\frac{c}{2},\;0} \right)$ το μέσο της

είναι $\displaystyle \left( {CM} \right) = 3 \Leftrightarrow b^2 + \frac{{c^2 }}{4} = 9 \Leftrightarrow 4b^2 + c^2 = 36$ (2)

Από (2) είναι $\displaystyle c^2 = 36 - 4b^2$ οπότε η (1) γράφεται:

$\displaystyle b^2 \left( {36 - 4b^2 } \right) = 4b^2 + 4\left( {36 - 4b^2 } \right) \Leftrightarrow b^4 - 12b^2 + 36 = 0 \Leftrightarrow b^2 = 6 \Rightarrow c^2 = 12$

Τότε $\displaystyle \left( {BC} \right) = \sqrt {b^2 + c^2 } = 3\sqrt 2$ άρα $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{1}{2}AD \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3\sqrt 2 = 3\sqrt 2$

#5

polysindos έγραψε:Αν το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι και η διάμεσος που αντιστοιχεί σε μια κάθετη πλευρά είναι ποιό είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου;

: 1.png (15.38 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Έστω $\displaystyle{ \vartriangle ABC\,\,\left( {\hat A = 90^0 } \right),BM\mathop = \limits^{\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma \,\,} 3,AH\mathop = \limits^{\upsilon \psi o\varsigma } 2 }$ . Ας είναι $\displaystyle{ AN }$ η διαμεσός του οπότε το $\displaystyle{ K \equiv AN \cap BN }$

είναι το βαρύκεντρό του άρα $\displaystyle{ BK = \frac{2} {3}BM\mathop \Rightarrow \limits^{BM = 3} \boxed{BK = 2 = AH} }$

και επειδή το τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ANB }$ είναι ισοσκελές $\displaystyle{ \left( {NA = NB = \frac{{BC}} {2}} \right) }$ προκύπτει με $\displaystyle{ AH \bot NB }$ ότι $\displaystyle{ BK \bot AN \Rightarrow BM \bot AN\mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle BAM\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\,\,\left( {\widehat{BAM} = 90^0 } \right)} }$

$\displaystyle{ \left( {AK} \right)^2 = \left( {BK} \right) \cdot \left( {KM} \right) = \frac{2} {3}\left( {BM} \right) \cdot \frac{1} {3}\left( {BM} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {BM} \right) = 3} \ldots \boxed{\left( {AK} \right) = \sqrt 2 } }$ . Τότε $\displaystyle{ \left( {ABC} \right)\mathop = \limits^{BM\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma o\varsigma } 2\left( {ABM} \right) = 2\frac{{\left( {BM} \right) \cdot \left( {AK} \right)}} {2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {BM} \right) = 3,\left( {AK} \right) = \sqrt 2 } \boxed{\left( {ABC} \right) = 3\sqrt 2 } }$

Στάθης

Υ.Σ. Γιώργο νομίζω ότι και η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ!!! το "ξεδιπλώνει" όμορφα

Ιστοσελίδα · #6

Καλημέρα.

: ΕΜΒΑΔΟΝ-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ-ΤΡΙΓΩΝΟΥ.png (14.37 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

Θέτω

και εφαρμόζοντας Πυθαγόρειο

φορές στα ορθογώνια ACM,ACD,ABD,ABC

προκύπτει η εξίσωση: $\sqrt {5 - {x^2}} + \sqrt {4{x^2} - 4} = \sqrt {9 + 3{x^2}} ,\,x \in [1,\sqrt 5 ]$ .

Μετά από πράξεις καταλήγουμε στην ισοδύναμη: $({x^2} - 1)(5 - {x^2}) = 4$ , απ’ όπου κρατάμε τη θετική λύση $x = \sqrt 3$ . Έτσι $\left( {ABC} \right) = \displaystyle\frac{{2\sqrt 3 \sqrt 6 }}{2} = 3\sqrt 2 \,\tau .\mu .$

S.E.Louridas · #7

Ως επίσης από τους τύπους
$\displaystale{\frac{1} {{b^2 }} + \frac{1} {{c^2 }} = \frac{1} {4}\,,\quad c^2 + \frac{{b^2 }} {4} = 9\, \Leftrightarrow \frac{1} {x} + \frac{1} {y} = \frac{1} {4}\,,\;\;y + \frac{{x }} {4} = 9\;\left( {x = b^2 > 0,\;\;y = c^2 > 0} \right)}$
προσδιορίζουμε τις πλευρές του τριγώνου.

ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Re: ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Re: ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Re: ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Re: ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Re: ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Re: ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Μέλη σε σύνδεση