Ελάχιστο τμήμα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

: Ελάχιστο μήκος.PNG (111.23 KiB) Προβλήθηκε 975 φορές

Έστω ότι η ζητούμενη γωνία είναι η $\displaystyle{\hat{APB}}$ .

Σχηματίζουμε το ορθογώνιο

$\displaystyle{OACB}$ και επειδή

$\displaystyle{PM=\frac{AB}{2}=\frac{OC}{2}}$

το τρίγωνο $\displaystyle{OPC}$ θα είναι κι αυτό ορθογώνιο στην κορυφή $\displaystyle{P}$ .

Έτσι αν σ' αυτό φέρουμε το ύψος $\displaystyle{PP_1}$ θα είναι:

$\displaystyle{OP^2=OP_1 \cdot OC \ \ (1)}$

Αν στη συνέχεια θεωρήσουμε την προβολή $\displaystyle{P_o}$ του δοθέντος σημείου $\displaystyle{P}$ στο επίπεδο των καθέτων $\displaystyle{ Ox, Oy}$ καθώς

και την κάθετη $\displaystyle{PC_o}$ προς την $\displaystyle{OP}$ στο επίπεδο που ορίζεται από τις $\displaystyle{OP, \ \ PP_o}$ , τότε όμοια θα ισχύει:

$\displaystyle{OP^2=OP_o \cdot OC_o \ \ (2)}$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{OP_1 \cdot OC=OP_o \cdot OC_o \ \ (3)}$

Δηλαδή το τετράπλευρο $\displaystyle{P_oPCC_o}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.(4)

Ακόμα επειδή: $\displaystyle{PP_o \perp {xOy}}$ και $\displaystyle{ PP_1 \perp{OC}}$ από το θεώρημα

των τριών καθέτων προκύπτει: $\displaystyle{P_oP_1 \perp{OC}}\ \ (5)$

Από τις (4) και (5) προκύπτει ότι: $\displaystyle{\hat{OC_oC}=90^o}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{OC \geq OC_o \ \ (6)}$

Από την (6) κι επειδή τα σημεία $\displaystyle{P_o, C_o}$ είναι σταθερά, προκύπτει ότι η ελάχιστη τιμή που

μπορεί να λάβει η $\displaystyle{OC}$ είναι το σταθερό τμήμα $\displaystyle{OC_o}$ .

Τέλος από το ορθογώνιο $\displaystyle{OACB}$ είναι $\displaystyle{OC=AB}$ κι έτσι το ελάχιστο που μπορεί να λάβει

το τμήμα $\displaystyle{AB}$ είναι η τιμή του τμήματος $\displaystyle{ A_oB_o}$ που είναι η άλλη διαγώνιος του

σταθερού ορθογωνίου $\displaystyle{OA_oC_oB_o}$ .

Συμπέρασμα:

Η ζητούμενη γωνία είναι η ορθή γωνία $\displaystyle{A_oPB_o}$ η οποία κατασκευάζεται μετά την κατασκευή, όπως αναφέρθηκε,

του σημείου $\displaystyle{C_o}$ και του ορθογωνίου $\displaystyle{OA_oC_oB_o}$ .

Σημείωση:

Στο αναρτημένο σχήμα η κατασκευή έγινε μ' αυτόν ακριβώς τον τρόπο. Αυτό σημαίνει πως δεν είναι ένα σχήμα

με υποθετικά δεδομένα αλλά με πραγματικές "ευκλείδειες συμπεριφορές".

Κώστας Δόρτσιος

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

S.E.Louridas · #4

Απλά και μόνο για την κουβέντα με τους δύο ΓΕΩΜΕΤΡΕΣ (τους πάνω) με τα κεφαλαία να αποτυπώνουν εδώ τουλάχιστον την απόλυτη πραγματικότητα, καταθέτω και την ημέτερη αντίληψη για την επίλυση του θέματος αυτού, με στόχο να πάω την κατασκευή πάνω στο επίπεδο, ώστε να υπάρχει η δυνατότητα του γεωμετρικού προσδιορισμού των ζητούμενων σημείων με κανόνα και διαβήτη.

Aν

είναι η προβολή του σημείου

πάνω στο επίπεδο $(\pi)$ των Ox, Oy

και

το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος

, παίρνουμε ότι: OM^2 - MS^2 = PS^2 ,

με το

να είναι σταθερό ευθύγραμμο τμήμα.
Συνεπώς από το δεύτερο θεώρημα της διαμέσου το σημείο

θα κινείται σε σταθερή ευθεία του επιπέδου μας κάθετη στην ευθεία

. Αν λοιπόν από το σημείο

θεωρήσουμε την κάθετη στην ευθεία αυτή βρίσκουμε την κατάλληλη θέση για το σημείο

οπότε με κέντρο αυτό και ακτίνα το ευθύγραμμο τμήμα

γράφουμε κύκλο που οι αντιδιαμετρικές τομές του με τις Ox, Oy

δίνουν τα σημεία που θέλαμε.
Ακολουθεί ένα χειροποίητο σχήμα:

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

S.E.Louridas · #6

Απλά θα ήθελα να εξηγήσω τι συμβαίνει μετά την «μετάβαση» στο επίπεδο, με χρήση του δεύτερου θεωρήματος της διαμέσου στην ημέτερη διαπραγμάτευση, όπου το σημείο

είναι σταθερό σημείο σαν προβολή του σταθερού σημείου

στο δοθέν επίπεδο.

… $OQ = QS \Rightarrow OM^2 - MS^2 = PS^2 \Rightarrow 2QW \cdot OS = PS^2 \Rightarrow$ $\displaystyle{QW = \frac{{PS^2 }} {{2OS}},\quad ct. \Rightarrow M \in (\varepsilon ),}$ με
$OW \leqslant OM \Rightarrow OM_{\min } = OW \Rightarrow M \equiv W.$

Επομένως γράφοντας τον κύκλο (W,WO)

παίρνουμε τα ζητούμενα σημεία A,B

, που λόγω της ορθής γωνίας $\angle{xOy}$ είναι προφανώς αντιδιαμετρικά.

#7

Στη λύση του Σωτήρη απλά ήθελα να σημειώσω ότι η ευθεία $\displaystyle{(\epsilon)}$ ,

την οποία ο Σωτήρης προσδιόρισε ως το γ. τ. των μέσων $\displaystyle{M}$ όλων των τμημάτων

$\displaystyle{A_iB_i}$ (με $\displaystyle{A_i \in{Ox}, \ \ B_i \in{Oy}}$ ) που φαίνονται από το σημείο $\displaystyle{P}$ του χώρου με ορθή γωνία,

είναι ουσιαστικά η τομή του μεσοκάθετου επιπέδου στο σταθερό τμήμα $\displaystyle{OP}$

με το επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ .

Αυτό διότι το σημείο $\displaystyle{M}$ ως μέσο της υποτείνουσας των τριγώνων $\displaystyle{OA_iB_i}$ και $\displaystyle{PA_iB_i}$

ικανοποιεί τη σχέση:

$\displaystyle{MO=MP=\frac{A_iB_i}{2}}$

Αυτό μας διευκολύνει να διακρίνουμε τη μια από τις δύο περιπτώσεις που προκύπτουν

από το δεύτερο θεώρημα της διαμέσου.

Η σταθερή αυτή ευθεία $\displaystyle{ (\epsilon) }$ στο δεύτερο σχήμα του Ορέστη είναι η $\displaystyle K\Lambda$ (με το γαλάζιο χρώμα).

Κώστας Δόρτσιος

Ελάχιστο τμήμα

Ελάχιστο τμήμα

Re: Ελάχιστο τμήμα

Re: Ελάχιστο τμήμα

Re: Ελάχιστο τμήμα

Re: Ελάχιστο τμήμα

Re: Ελάχιστο τμήμα

Re: Ελάχιστο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση