Υπάρχουν πολλά τέτοια τρίγωνα !

#1

Στο ερώτημα αν υπάρχουν τρίγωνα που έχουν πλευρές με ακέραια μήκη και μια γωνία ίση με , απάντηση δίνει η παρακάτω άσκηση .Το μόνο που χρειάζονται οι μαθητές, εκτός από το βασικό τριγωνομετρικό νόμο, είναι να κάνουν με υπομονή τα τρία αναπτύγματα των βασικών ταυτοτήτων , όχι όμως τις πράξεις στο συντελεστή του τριγωνομετρικού όρου.Αξίζει να την προσπαθήσουν !

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές a=n^2+2n+4 ,b=4n+4,c=n^2+4n

όπου

είναι φυσικός αριθμός , έχει τη γωνία

ίση με

.

Το ίδιο συμπέρασμα ισχύει για όλες τις τριάδες που φαίνονται στο συνημμένο, αλλά για τη γωνία

.

Μια αναλυτική και ενδιαφέρουσα αντιμετώπιση του θέματος υπάρχει στο γερμανικό περιοδικό MONOID, τεύχος 109.

Μπάμπης

*** Προσθέτω ακόμα μερικές τριάδες, χάριν ενημέρωσης( m,n

είναι φυσικοί αριθμοί με m>n

).

Γιώργος Απόκης · #2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές όπου είναι φυσικός αριθμός , έχει τη γωνία ίση με .

Αφού έμεινε, απαντάω στο βασικό ερώτημα...

Από το Νόμο των συνημιτόνων έχουμε $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$ (1). Είναι:

$\displaystyle{b^2+c^2-a^2=(4n+4)^2+(n^2+4n)^2-(n^2+2n+4)^2=}$

$\displaystyle{=16n^2+32n+16+n^4+8n^3+16n^2-n^4-4n^2-16-4n^3-8n^2-16n=4n^3+20n^2+16n=4n(n^2+5n+4)=}$

=4n(n+1)(n+4)=4(n+1)n(n+4)=(4n+4)(n^2+4n)=bc

. Με αντικατάσταση στην (1), έχουμε :

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu A=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}}$ και άρα $\hat A=60^o.$

Υπάρχουν πολλά τέτοια τρίγωνα !

Υπάρχουν πολλά τέτοια τρίγωνα !

Re: Υπάρχουν πολλά τέτοια τρίγωνα !

Μέλη σε σύνδεση