Κλασσική!

#1

Έστω

ένα ισόπλευρο τρίγωνο και

ένα εσωτερικό σημείο της πλευράς BC.

Ένας κύκλος εφάπτεται στην

στο

και τέμνει τις πλευρές

και

στα εσωτερικά σημεία M, N

και

αντίστοιχα.
Δείξτε ότι |BD| + |AM| + |AN| = |CD| + |AP| + |AQ|.

Grigoris K. · #2

Ας την δούμε και αυτήν:

Έστω $\displaystyle{ a }$ η πλευρά του ισοπλεύρου. Ισχύει $\displaystyle{ CD^2 = CQ \cdot CP = (a -AQ)(a - AP) = a^2 -a(AQ+AP) + AQ \cdot AP \ (1)}$ .

Επίσης $\displaystyle{ BD^2 = BN \cdot BM = (a-AN)(a-AM) = a^2 -a(AN+AM) + AN \cdot AM \ (2)}$ .

Αφαιρούμε $\displaystyle{(1) - (2) \implies CD^2 - BD^2 = -a(AQ + AP - AN - AM) \implies a(CD-BD) = -a(AQ + AP - AN - AM) }$

$\displaystyle{\implies BD + AM + AN = CD + AP + AQ }$ .

Κλασσική!

Κλασσική!

Re: Κλασσική!

Μέλη σε σύνδεση