Εγγράψιμο!

#1

Έστω

τρίγωνο, με έκκεντρο το

και $AB \ne AC.$ Ο εγγεγραμμένος κύκλος του εφάπτεται στις πλευρές BC, CA ,AB

στα

Έστω

το μέσο του EF.

Η ευθεία

τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο $P \ne D.$
Δείξτε ότι το τετράπλευρο PMID

είναι εγγράψιμο.

#2

: Εγγράψιμο_Sokrates.png (21.12 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

Από Θεώρημα Ευκλείδη στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm E}{\rm A}{\rm I}$ με ύψος προς την υποτείνουσα το ${\rm E}{\rm M}$ έχουμε: ${\rm A}{{\rm E}^2} = {\rm A}{\rm M} \cdot {\rm A}{\rm I}\,\,\,(1)$ και από την δύναμη του σημείου ${\rm A}$ ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο , $A{E^2} = AP \cdot AD\,\,\,(2)$ . Δηλαδή
$\boxed{AM \cdot AI = AP \cdot AD}$ . Η τελευταία μας εγγυάται το ζητούμενο δηλαδή ότι τα σημεία P,D,I,M

ανήκουν στο ίδιο κύκλο .

Φιλικά Νίκος

Εγγράψιμο!

Εγγράψιμο!

Re: Εγγράψιμο!

Μέλη σε σύνδεση