Ισόπλευρο και εμβαδά

#1

Έστω

ισόπλευρο τρίγωνο και

εσωτερικό του σημείο. Αν X, Y, Z

οι προβολές του

στις πλευρές BC, CA, AB,

αντίστοιχα,
να δείξτε ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων BXP, CY P, AZP

δεν εξαρτάται από τη θέση του

S.E.Louridas · #2

Μία σκέψη μόνο, για να ασχοληθούν και οι Μαθητές με το όμορφο αυτό πρόβλημα.
Αν x,y,z,u,v,w

τα αντίστοιχα μέτρα των εμβαδών των τριγώνων που δημιουργούνται από τις παραλληλίες που "βλέπουμε" στο σχήμα, έχουμε
$\displaystale{x+y+z+u+v+w=\frac{(ABC)}{2}}$ και έτσι οδηγούμεθα στην επίλυση.

S.E.Louridas · #3

Ας επανέρθουμε γιά πλήρη λύση.
Θεωρούμε από το σημείο $P\;\;,\;VJ\parallel BC,\;\;KQ\parallel AB,\;\;LN\parallel AC.$
Τα τρίγωνα PKN, PJQ, PLV

είναι ισόπλευρα με τις ευθείες PX, PY, PZ

να είναι οι μεσοκάθετες των αντίστοιχων πλευρών,
που εκτός των άλλων σημαίνει ότι τα χωρίζουν σε δύο ίσα τρίγωνα.
Παρατηρούμε ότι τα τετράπλευρα NCJP, PQAL, VBKB

είναι εκ κατασκευής παραλληλόγραμμα, γνωρίζοντες ότι κάθε διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα.
Τελικά, λοιπόν παίρνουμε:
$\displaystyle{\left( {BXP} \right) + \left( {CYP} \right) + \left( {AZP} \right) = x + w + y + z + u + x =}$ $\displaystyle{\frac{{2x + 2y + 2z + 2u + 2v + 2w}} {2} = \frac{{\left( {ABC} \right)}} {2},\quad ct.}$

Ισόπλευρο και εμβαδά

Ισόπλευρο και εμβαδά

Re: Ισόπλευρο και εμβαδά

Re: Ισόπλευρο και εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση