Ορθογώνιο σε τετράγωνο

hlkampel · #1

Δίνεται τετράγωνο ABCD

και τα σημεία $E,\;F$ στις πλευρές $AB,\;BC$ αντίστοιχα τέτοια ώστε BE = BF

.

Αν είναι $BN \bot CE$ , να δείξετε ότι το τρίγωνο FND

είναι ορθογώνιο.

Ιστοσελίδα · #2

Καλησπέρα.

: Ορθογώνιο-σε-τετράγωνο.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

Έστω $K \equiv BN \cap AD$ . Είναι $\triangle CEB\mathop = \limits^{\Gamma - \Pi - \Gamma } \triangle BKA \Rightarrow EB = AK = BF$ και το KFCD

ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, άρα εγγράψιμο όπως και το KNCD

.

Έτσι τα σημεία N,F,C,D

είναι ομοκυκλικά, συνεπώς $D\widehat NF = {180^ \circ } - {90^ \circ } = {90^ \circ }$ .

KARKAR · #3

Κι άλλες απαντήσεις στο απλό και όμορφο θέμα : εδώ

#4

: Ορθή σε τετράγωνο.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Γεια χαρά, σε όλους.
Είναι $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ [ αφού AB//DC

] και $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ [ πλευρές κάθετες ] , άρα $\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}}$
Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα NBE,NCB

είναι όμοια, διαδοχικά έχω :

$\displaystyle\frac{{NB}}{{BF}} = \displaystyle\frac{{NB}}{{BE}} = \displaystyle\frac{{NC}}{{BC}} = \displaystyle\frac{{NC}}{{DC}} \Rightarrow \boxed{\displaystyle\frac{{NB}}{{BF}} = \displaystyle\frac{{NC}}{{DC}}}$ Δηλαδή και τα τρίγωνα BNF,CND

είναι όμοια ως έχοντα μια γωνία ίση περιεχόμενη μεταξύ ανάλογων πλευρών και έτσι
$\widehat {DNC} = \widehat {FNB} \Rightarrow \boxed{\widehat {DNF} = \widehat {CNB} = {{90}^0}}$ .

Φιλικά Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Καλησπέρα. Άλλη μια λύση
Λόγω του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{EDC}$ και του εγγράψιμου $\displaystyle{ONDC}$ και λόγω παραλληλίας $\displaystyle{EF//AC}$ οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους όπως και οι πράσινες και μπλέ .Συνεπώς ,το $\displaystyle{EDLN}$ είναι εγγράψιμο οπότε $\displaystyle{\angle NLO}$ είναι κόκκινη.Τότε όμως $\displaystyle{\angle NOB = \angle NLF}$ (μια ορθή +κόκκινη).Έτσι το τρίγωνο $\displaystyle{ONL}$ προφανώς είναι ορθογώνιο και όμοιο με το $\displaystyle{EDC}$ .Έτσι $\displaystyle{\frac{{ON}}{{DC}} = \frac{{NL}}{{DE}}}$ (1)
Βασικός στόχος είναι η ομοιότητα των κίτρινων τριγώνων.Επειδή $\displaystyle{\angle NOB = \angle NLF}$ ,θα δείξουμε ότι $\displaystyle{\frac{{ON}}{{NL}} = \frac{{OB}}{{LF}}\overset {(1)} \longleftrightarrow \frac{{\frac{{DCNL}}{{DE}}}}{{NL}} = \frac{{OB}}{{LF}} \Leftrightarrow \frac{{DC}}{{DE}} = \frac{{OC}}{{LF}}} \displaystyle{ \Leftrightarrow \frac{{DC}}{{DF}} = \frac{{OC}}{{LF}}}$ που είναι αληθής λόγω της παραλληλίας $\displaystyle{EF//AC}$
Έτσι και $\displaystyle{\angle NBL = \angle LFN \Rightarrow BNLF}$ εγγράψιμο κι επειδή $\displaystyle{\angle BLF = {90^0} \Rightarrow \angle BNF = {90^0}}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε

Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση