εμβαδόν τετραπλεύρου

Ανδρέας Πούλος · #1

Δίνεται το τρίγωνο ABC

όπως στο συνημμένο σχήμα και σημείο

στο εσωτερικό του.
Τα ευθύγραμμα τμήματα

και

τέμνονται στο σημείο

.
Αν το εμβαδόν του τριγώνου BEF

ισούται με

το εμβαδόν του τριγώνου BFC

ισούται με

το εμβαδόν του τριγώνου DFC

ισούται με

να εκφραστεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου AEFD

συναρτήσει των ποσοτήτων

,

.

(Την βρήκα στο Διαδίκτυο, δεν ξέρω αν έχει προταθεί στο Φόρουμ)

Φιλικά, Ανδρέας Πούλος

Γιώργος Απόκης · #2

Καλησπέρα. Σίγουρα έχει προταθεί, δεν τη βρίσκω όμως...

Θεωρώ την $\displaystyle{AF}$ που δημιουργεί τα τρίγωνα με εμβαδά $\displaystyle{E_1,E_2}$ . Tα τρίγωνα $\displaystyle{BEF,BFC}$ έχουν

βάσεις στην ευθεία $\displaystyle{EFC}$ άρα κοινό ύψος από το $\displaystyle{B}$ . Επομένως, θα ισχύει : $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{EF}{FC}}$ (1).

Ομοίως, από τα τρίγωνα : $\displaystyle{BFC,CFD}$ προκύπτει : $\displaystyle{\frac{b}{c}=\frac{BF}{FD}}$ (2) και από τα τρίγωνα

$\displaystyle{AFB,AFD}$ προκύπτει : $\displaystyle{\frac{BF}{FD}=\frac{a+E_1}{E_2}}$ (3). Tέλος, από τα $\displaystyle{AFE,AFC}$ : $\displaystyle{\frac{EF}{FC}=\frac{E_1}{E_2+c}}$ (4).

Aπό τις (1), (4) έχουμε : $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{E_1}{E_2+c}\Leftrightarrow bE_1=a(E_2+c)}$ και από τις (2), (3) έχουμε : $\displaystyle{\frac{b}{c}=\frac{a+E_1}{E_2}\Leftrightarrow bE_2=c(a+E_1)}$ .

Λύνοντας το σύστημα έχουμε : $\displaystyle{E_1=\frac{ac(a+b)}{b^2-ac},~E_2=\frac{ac(b+c)}{b^2-ac}}$ άρα $\displaystyle{(AEFD)=\frac{ac(a+2b+c)}{b^2-ac}}$ .

Γιώργος Απόκης · #3

Τελικά, τη βρήκα εδώ!

Ανδρέας Πούλος · #4

Την βρήκα στην ιστοσελίδα του
Nick Hobson
nickh@qbyte.org
Last updated: April 3, 2008
Είναι παλαιότερη από την ημερομηνία που αναρτήθηκαν στο Φόρουμ, χωρίς αυτό να σημαίνει κάτι.

Έχει ενδιαφέρον να σχολιάσουμε για ποιον λόγο ο παρονομαστής b^2 - ac

στον τύπο της λύσης δεν μηδενίζεται;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Γιώργος Απόκης · #5

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Έχει ενδιαφέρον να σχολιάσουμε για ποιον λόγο ο παρονομαστής στον τύπο της λύσης δεν μηδενίζεται;
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Προσπάθησα (μάταια) να αποδείξω ότι $\displaystyle{b^2-ac\ne 0}$ ...

εμβαδόν τετραπλεύρου

εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: εμβαδόν τετραπλεύρου

Re: εμβαδόν τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση