Μια παλιά Θαλή

Eukleidis · #1

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και ημιευθεία Αx// ΒΓ (ηΑx βρίσκεται στο ίδιο
ημιεπίπεδο με το σημείο Γ ως προς την ευθεία ΑΒ). Στην ημιευθεία Αx θεωρούμε τα σημεία
Δ και Ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΒΓΔΕ να είναι ρόμβος (το σημείο Ε βρίσκεται ανάμεσα
στο Α και στο Δ). Στο σημείο Δ θεωρούμε την κάθετη ευθεία στη ΔΓ που τέμνει την προέκταση της πλευράς ΒΑ στο Ζ.
(α) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.
(β) Να αποδειχθεί ότι το Ε είναι έγκεντρο του τριγώνου ΑΓΖ.

Καλές Λύσεις και καλή επιτυχία στο Θαλή!

#2

Πώς την ξεχάσαμε αυτήν την άσκηση για 15 ημέρες; Κινδυνεύει η υπόληψη του mathematica...
Έστω και "κατόπιν εορτής" μια απάντηση στην άσκηση για τον Θαλή από τον Ευκλείδη:
Νομίζω ότι λείπει από την εκφώνηση η δήλωση ότι ΒΓ υποτείνουσα.
Αλλιώς (αν είναι Σωστή όπως είναι η εκφώνηση, θα πρέπει να διερευνήσουμε και την περίπτωση $\hat{A}=45^{0}$ .

: thalis 01.png (8.42 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

α) Έστω ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ίσες πλευρές ΑΒ = ΑΓ = α και υποτείνουσα ΒΓ = $\alpha \sqrt 2$ .
Σύμφωνα με την κατασκευή, Αx // ΒΓ, οπότε $\widehat{{\rm Z}{\rm A}x} = \widehatB = 45^\circ$ . Άρα και $\widehat{\Gamma {\rm A}x} = 45^\circ$ .

Στο ΑΓΔ ΑΓ = α, ΓΔ = $\alpha \sqrt 2$
(πλευρά ρόμβου), από Ν. Ημιτόνων είναι:
$\displaystyle \frac{{\Gamma \Delta }}{{\eta \mu 45^\circ }} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\eta \mu \phi }}\;\; \Leftrightarrow \;\;\frac{{\alpha \sqrt 2 }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{\alpha }{{\eta \mu \phi }}\;\; \Leftrightarrow \;\;\eta \mu \phi = \frac{1}{2}$ , οπότε, αφού 0 < φ < 135° είναι φ = 30°.
Στο ΑΓΔ, επίσης από Ν. Ημιτόνων είναι: $\displaystyle \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu 105^\circ }} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\eta \mu 30}}\;\; \Leftrightarrow \;{\rm A}\Delta = 2\alpha \cdot \eta \mu 105^\circ$

Στο ΔΖΑ είναι: $\displaystyle \widehat{{\rm Z}\Delta {\rm A}} = 60^\circ ,\;\widehat{{\rm Z}{\rm A}\Delta } = 45^\circ \;\; \Rightarrow \;\;\widehat{{\rm A}{\rm Z}\Delta } = 75^\circ$ , οπότε, από Ν. Ημιτόνων είναι:
$\displaystyle \frac{{{\rm{\Delta {\rm Z}}}}}{{{\rm{\eta \mu 45}}^\circ }} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu 75^\circ }}\;\; \Leftrightarrow \;\;\Delta {\rm Z} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{2\alpha \cdot \eta \mu 105^\circ }}{{\eta \mu 75^\circ }} = \sqrt 2 \alpha$ .
Το ΔΖΑ είναι ισοσκελές με μία γωνία 60° άρα είναι ισόπλευρο.

β) Η ΓΕ είναι διαγώνιος του ρόμβου, άρα είναι διχοτόμος της $\displaystyle \widehat{\Delta \Gamma {\rm B}} = 150^\circ$ , οπότε $\widehat{{\rm B}\Gamma {\rm E}} = 75^\circ$ και αφού $\widehat{{\rm B}\Gamma {\rm A}} = 45^\circ \;\; \Rightarrow \;\;\widehat{{\rm A}\Gamma {\rm E}} = 30^\circ$ .
Επίσης, ΖΔΓ ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $\displaystyle \widehat{\Delta \Gamma {\rm Z}} = 45^\circ \;\; \Rightarrow \;\;\widehat{{\rm Z}\Gamma {\rm E}} = \widehat{\Delta \Gamma {\rm E}} - \;\;\widehat{\Delta \Gamma {\rm Z}} = 30^\circ$ , άρα ΓΕ διχοτόμος στο ΑΖΓ. Επίσης, $\displaystyle \widehat{{\rm Z}{\rm A}{\rm E}} = \;\widehat{{\rm E}{\rm A}\Gamma } = 45^\circ$ άρα και ΑΕ διχοτόμος, οπότε Ε έγκεντρο στο ΓΑΕ.

Γιώργος Ρίζος

p_gianno · #3

Rigio έγραψε:Πώς την ξεχάσαμε αυτήν την άσκηση για 15 ημέρες .....

Γιώργο την έχουμε ξαναδεί στην παρακάτω θέση, αλλά τι να πρωτοθυμηθεί κανείς!
viewtopic.php?f=50&t=379&p=1993#p1993
Π.Γ

#4

math_finder έγραψε:
Rigio έγραψε:Πώς την ξεχάσαμε αυτήν την άσκηση για 15 ημέρες .....
Γιώργο την έχουμε ξαναδεί στην παρακάτω θέση, αλλά τι να πρωτοθυμηθεί κανείς!
viewtopic.php?f=50&t=379&p=1993#p1993
Π.Γ

Παιδιά, ψυχραιμία! Αρχίζω να πιστεύω ότι έχω πρόβλημα αμνησίας, βλέποντάς σας να θυμάστε με τέτοια ευκολία ασκήσεις που συζητήσαμε 10 μήνες πριν!
Ειλικρινά τώρα, εσείς (Παναγιώτης, Φωτεινή, Χρήστος Κ. και άλλοι που τώρα ξεχνώ) έχετε μνημονικό ελέφαντα ή εγώ έχω πρόβλημα;

Γ.Ρ.

Μια παλιά Θαλή

Μια παλιά Θαλή

Re: Μια παλιά Θαλή

Re: Μια παλιά Θαλή

Re: Μια παλιά Θαλή

Μέλη σε σύνδεση