Ανεξάρτητο του P

#1

Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ABC

και σημείο

στο εσωτερικό του. Αν X, Y, Z

είναι οι προβολές του

στις πλευρές BC, CA, AB,

αντίστοιχα, να δείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων BXP, CY P

και

είναι ανεξάρτητο του

#2

socrates έγραψε:Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο και σημείο στο εσωτερικό του. Αν είναι οι προβολές του στις πλευρές αντίστοιχα, να δείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων και είναι ανεξάρτητο του

Ας είναι

η πλευρά του τριγώνου,

το ύψος του και x,y,z

οι αποστάσεις του

από τις πλευρές BC, CA, AB,

αντίστοιχα.

Τότε x+y+z=h

(γνωστή πρόταση) και εύκολα υπολογίζουμε

$BX=\frac{2z+x}{\sqrt{3}}, CY=\frac{2x+y}{\sqrt{3}},AZ=\frac{2y+z}{\sqrt{3}}$

Τότε

$(BXP)+(CYP)+(AZP)=\frac{2z+x}{2\sqrt{3}}x+\frac{2x+y}{2\sqrt{3}}y+\frac{2y+z}{2\sqrt{3}}z=$

$=\frac{1}{2\sqrt{3}}(x+y+z)^2=\frac{1}{2\sqrt{3}}h^2=\frac{1}{2\sqrt{3}}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^2=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}=\frac{(ABC)}{2}$

που είναι ανεξάρτητο του

.

#3

Κι εδώ:

viewtopic.php?f=22&t=35197

Ανεξάρτητο του P

Ανεξάρτητο του P

Re: Ανεξάρτητο του P

Re: Ανεξάρτητο του P

Μέλη σε σύνδεση