ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5193
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Σεπ 01, 2013 11:04 pm

Παράλληλα με τη συλλογή ασκήσεων που αναφέρονται στο τετράγωνο, σκέφτομαι να ξεκινήσουμε και τη συλλογή ασκήσεων, όπου στα δεδομένα, στα ζητούμενα ή στο βασικό τέχνασμα εμφανίζεται Ισόπλευρο Τρίγωνο.

Πάνω στο θέμα αυτό έχω ένα ξενόγλωσσο βιβλίο και βλέπω πόσο πλούσιο είναι το ισόπλευρο τρίγωνο σε ασκήσεις. Μπορούμε και μεις να δημιουργήσουμε το δικό μας θησαυρό πάνω σε αυτό το κανονικό σήμα που το σχεδιάζουμε από μικρά παιδιά μαζί με τον κύκλο και το τετράγωνο.Θα φτάσουμε στο θεώρημα Morley αλλά και σε πολλά υπέροχα συμπεράσματα που είναι τα διαμάντια της ευκλείδειας γεωμετρίας.

Την αφορμή για να ξεκινήσουμε και αυτή τη συλλογή,μια και η άλλη έχει ήδη θριαμβεύσει , είναι η παρακάτω :

ΑΣΚΗΣΗ 1

(KARKAR)Σε τρίγωνο \displaystyle ABC με \hat{B}=60^0 , το M είναι το μέσο της BC και το D το σημείο επαφής

της BC με τον έγκυκλο του τριγώνου . Φέρω τμήμα CS κάθετο προς τη διχοτόμο της \hat{A}.

Να αποδείξτε ότι το τρίγωνο SMD είναι ισόπλευρο .

viewtopic.php?f=22&t=39579

Λύση(ΑΣΚΗΣΗ 1)

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:Αν \displaystyle{CS \cap AB = E} ,το \displaystyle{\vartriangle EAC} είναι ισοσκελές αφού η διχοτόμος του \displaystyle{AS} είναι και ύψος του κι έτσι \displaystyle{S} είναι μέσον της \displaystyle{CE} οπότε \displaystyle{MS//AE \Rightarrow \angle ABC = \angle BMS = {60^0}}
\displaystyle{\angle A + \angle C = {120^0} \Rightarrow \frac{{\angle A}}{2} + \frac{{\angle C}}{2} = {60^0} \Rightarrow \angle SOC = {60^0}} κι επειδή \displaystyle{ODSC} εγγράψιμο (\displaystyle{\angle ODC = \angle OSC = {90^0}}) θα είναι και \displaystyle{\angle CDS = {60^0}}.Άρα, \displaystyle{\vartriangle DMS} ισόπλευρο.
Συνημμένα
Equilateral 1,sol.PNG
Equilateral 1,sol.PNG (17.88 KiB) Προβλήθηκε 2152 φορές


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5193
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Σεπ 01, 2013 11:15 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1

(KARKAR)Σε τρίγωνο \displaystyle ABC με \hat{B}=60^0 , το M είναι το μέσο της BC και το D το σημείο επαφής

της BC με τον έγκυκλο του τριγώνου . Φέρω τμήμα CS κάθετο προς τη διχοτόμο της \hat{A}.

Να αποδείξτε ότι το τρίγωνο SMD είναι ισόπλευρο .

2η Λύση(ΑΣΚΗΣΗ 1)

Doloros έγραψε:Έστω ABC τρίγωνο με \widehat B = {60^0} .Αν S η προβολή τουC στη διχοτόμο της γωνίας \widehat A

και N το μέσο της AC η διάμεσος SN του ορθογωνίου τριγώνου SAC θα ισούται

με το μισό της υποτείνουσας , δηλαδή SN = AN \Rightarrow \widehat {NSA} = \widehat {NAS}\,\,( = \widehat {SAB}) \Rightarrow BA//SN

, άρα η SN θα διέρχεται από και το μέσο M της πλευράς BC . Προφανώς

\widehat {SMD} = \widehat B = {60^0} . Είναι γνωστό ότι \boxed{DM = \frac{{b - c}}{2}} . Από την άλλη μεριά

SM + MN = SN = \dfrac{b}{2} \Rightarrow SM + \dfrac{c}{2} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \boxed{SM = \frac{{b - c}}{2}} συνεπώς το τρίγωνο MDS είναι

ισόπλευρο.

Φιλικά Νίκος
Συνημμένα
Equilateral 1,sol2.PNG
Equilateral 1,sol2.PNG (24.76 KiB) Προβλήθηκε 2141 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8666
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από KARKAR » Κυρ Σεπ 01, 2013 11:49 pm

Άσκηση 2
2.png
2.png (9.92 KiB) Προβλήθηκε 2108 φορές

Με κέντρο το μέσο της βάσης M ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , γράφω τόξο \overset{\frown}{DE} , εφαπτόμενο των AB,AC .

Σε σημείο S του \overset{\frown}{DE} , φέρω εφαπτομένη που τέμνει τις AB,AC στα P,T αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \displaystyle \frac{AP}{PD}\cdot \frac{AT}{TE}=4


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8666
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από KARKAR » Δευ Σεπ 02, 2013 6:40 pm

Άσκηση 3

3.png
3.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 2034 φορές
Σε σημείο S της βάσης BC ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , φέρω κάθετη

η οποία τέμνει την πλευρά AC στο P και την προέκταση της BA στο T

Σε άλλο σημείο K της βάσης φέρω κάθετη η οποία τέμνει την AC στο L και τον περίκυκλο στο N .

1) Υπολογίστε το λόγο \displaystyle \frac{BS}{BC} , ώστε το P να είναι μέσο του ST
2) Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός ότι αν \displaystyle \frac{BK}{BC}=\frac{10}{13} , τότε το L είναι μέσο του KN


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8666
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από KARKAR » Δευ Σεπ 02, 2013 9:20 pm

Άσκηση 4
4.png
4.png (13.37 KiB) Προβλήθηκε 1990 φορές

Δίνονται δύο κύκλοι με κέντρα O,K . Εντοπίστε σημείο S του πρώτου κύκλου και T του δεύτερου , ώστε

οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων σ'αυτά , τεμνόμενες στο P , να σχηματίζουν το ισόπλευρο τρίγωνο PST.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4954
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Doloros » Δευ Σεπ 02, 2013 9:25 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 2
Το συνημμένο 2.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Με κέντρο το μέσο της βάσης M ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , γράφω τόξο \overset{\frown}{DE} , εφαπτόμενο των AB,AC .

Σε σημείο S του \overset{\frown}{DE} , φέρω εφαπτομένη που τέμνει τις AB,AC στα P,T αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \displaystyle \frac{AP}{PD}\cdot \frac{AT}{TE}=4

iso_2.png
iso_2.png (15.27 KiB) Προβλήθηκε 1981 φορές

Είναι : a + x = b + y \Leftrightarrow x - y = b - a\,\, και άρα

{(x - y)^2} = {(b - a)^2} \Rightarrow \boxed{{x^2} + {y^2} - 2xy = {b^2} + {a^2} - 2ab}\,\,(1). Από Θ. Συνημίτονου στο

τρίγωνο APTέχουμε: P{T^2} = A{P^2} + A{T^2} - AP \cdot AT δηλαδή

{(x + y)^2} = {a^2} + {b^2} - ab \Leftrightarrow \boxed{{x^2} + {y^2} + 2xy = {a^2} + {b^2} - ab}\,\,(2)

Αν αφαιρέσουμε τις (2)\,\,,\,\,(1)κατά μέλη έχουμε :


4xy = ab \Leftrightarrow \boxed{\frac{a}{x} \cdot \frac{b}{y} = 4} δηλαδή το ζητούμενο


Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4954
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Doloros » Τρί Σεπ 03, 2013 1:01 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 3

Το συνημμένο 3.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε σημείο S της βάσης BC ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , φέρω κάθετη

η οποία τέμνει την πλευρά AC στο P και την προέκταση της BA στο T

Σε άλλο σημείο K της βάσης φέρω κάθετη η οποία τέμνει την AC στο L και τον περίκυκλο στο N .

1) Υπολογίστε το λόγο \displaystyle \frac{BS}{BC} , ώστε το P να είναι μέσο του ST
2) Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός ότι αν \displaystyle \frac{BK}{BC}=\frac{10}{13} , τότε το L είναι μέσο του KN


Ερώτημα 1
iso_3_1erotima.png
iso_3_1erotima.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 1912 φορές

Ας πούμε λυμένο το πρόβλημα . Θεωρούμε παράλληλη από το P που τέμνει την AB

στο σημείο D. Τα ορθογώνια τρίγωνα SCP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PDTθα είναι ίσα γιατί είναι της

μορφής ({90^0}{,60^0}{,30^0}) και έχουν SP = PT. Συνεπώς θα έχουν και DP = //SC.

Άμεση συνέπεια ,το τετράπλευρο SCPTθα είναι παραλληλόγραμμο. Έτσι

DS = PC = 2SC = 2DP = 2AP. Δηλαδή DS = \dfrac{2}{3}AC \Rightarrow \boxed{BS = \dfrac{2}{3}BC}. Η τελευταία

μας καθορίζει την θέση του S.

Ερώτημα 2
iso_3_2erotima.png
iso_3_2erotima.png (20.37 KiB) Προβλήθηκε 1912 φορές

Αν η προέκταση της LKκόψει τον κύκλο στο H και θέσουμε :

KC = x,\,\,KH = t\,\,,NL = LK = y\,\,,BK = w\,\,\,\, θα έχουμε

LC = 2x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AL = AC - 2x = BC - 2x = w + x - 2x \Rightarrow \boxed{AL = w - x}. Ισχύουν :

KH \cdot KN = KB \cdot KC\,\,\,(1)\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,LA \cdot LC = LN \cdot LH\,\,(2). Επειδή όμως

y = LK = LC\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \boxed{y = x\sqrt 3 }. Μετά απ’ αυτά οι (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) δίδουν :

\left\{ \begin{gathered}
  2ty = wx \hfill \\
  (w - x)2x = y(y + t) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  2tx\sqrt 3  = wx \hfill \\
  (w - x)2x = x\sqrt 3 (x\sqrt 3  + t) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. δηλαδή έχουμε

\left\{ \begin{gathered}
  2t\sqrt 3  = w \hfill \\
  (w - x)2 = \sqrt 3 (x\sqrt 3  + t) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  2t\sqrt 3  = w \hfill \\
  (2t\sqrt 3  - x)2 = 3x + t\sqrt 3  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. . Άρα από την δεύτερη του

προηγουμένου συστήματος έχουμε :

3t\sqrt 3  = 5x \Rightarrow \boxed{x = \frac{{3t\sqrt 3 }}{5}}\,\,(3) και αφού \boxed{w = 2t\sqrt 3 }\,\,(4) , αν διαιρέσουμε τις

(4)\,,\,(3)\,κατά μέλη έχουμε :\dfrac{w}{x} = \dfrac{{10}}{3} \Rightarrow \dfrac{w}{{x + w}} = \dfrac{{10}}{{13}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{BK}}{{BC}} = \frac{{10}}{13}}.

Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4954
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Doloros » Τρί Σεπ 03, 2013 3:49 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 4
Το συνημμένο 4.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Δίνονται δύο κύκλοι με κέντρα O,K . Εντοπίστε σημείο S του πρώτου κύκλου και T του δεύτερου , ώστε

οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων σ'αυτά , τεμνόμενες στο P , να σχηματίζουν το ισόπλευρο τρίγωνο PST.

iso_4.png
iso_4.png (33.65 KiB) Προβλήθηκε 1892 φορές

Ας πούμε λυμένο το πρόβλημα.

Η κορυφή P θα ανήκει στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων. Έστω L το σημείο τομής των SO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TK . Επειδή η

PL διχοτομεί την γωνία O\widehat LK , θα διέρχεται από την κορυφή M του σταθερού ισοπλεύρου τριγώνου με βάση την διάκεντρο

OK , ενώ το L θα ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο {k_3} του πιο πάνω τριγώνου.

Ας πούμε τώρα OS = R\,\,,\,\,KT = r\,\,,\,\,OK = d\,\, που είναι δεδομένα και έστω ακόμα OL = x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KL = y . Αρκεί να

υπολογιστεί ένα από τα x\,\,,\,\,y για να εντοπιστεί το L

Είναι R + x = r + y \Leftrightarrow R - r = y - x και άρα {(R - r)^2} = {(y - x)^2}\,(1) . Από το Θ. συνημίτονου στο τρίγωνο LOK έχουμε :

O{K^2} = O{L^2} + L{K^2} + OL \cdot LK γιατί η γωνία O\widehat LK = {120^0} . Δηλαδή {d^2} = {x^2} + {y^2} + xy\,\,\,(2) . Από το

σύστημα των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)

έχουμε :

\boxed{x = \dfrac{{ - (R - r) + \sqrt {\dfrac{{4{d^2} - {{(R - r)}^2}}}{3}} }}{2}} . Η μια από τις τομές των κύκλων {k_4} \to (O,x) με

τον κύκλο {k_3} προσδιορίζει το L.

Δεν μπορώ να πώ ότι είμαι πολύ ευχαριστημένος από την λύση παρ ότι

επαληθεύτηκε. ( Στο σχήμα είναιR = 6\,\,,r = 4\,\,,\,\,d = 5 \Rightarrow x = 2\sqrt 2  - 1 ).

Φιλικά Νίκος


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5193
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Σεπ 03, 2013 10:48 am

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC και σημεία D,E των πλευρών AC,AB αντίστοιχα, ώστε CD=2DA,AE=2EB.

Αν οι BD,CE τέμνονται στο O, να αποδειχθεί ότι AO\perp OC.

*** Διορθώθηκε typo. Ευχαριστώ τη Φωτεινή και τον Χρήστο Κυριαζή.
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Τρί Σεπ 03, 2013 1:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Φωτεινή » Τρί Σεπ 03, 2013 11:57 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC και σημεία D,E των πλευρών AC,AB αντίστοιχα, ώστε CD=2DA,AE=2EB.

Αν οι BD,CE τέμνονται στο O, να αποδειχθεί ότι AO\perp OC.


5.png
5.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 1817 φορές

Έστω AB=a

Αρκεί να δείξουμε ότι: OC^2-OE^2=AC^2-AE^2=\dfrac{5a^2}{9}

με νόμο συνημιτότων\vartriangle EBC : CE=\dfrac{a\sqrt 7}{3}

\bullet \quad \dfrac{DC}{DA}\cdot \dfrac{EA}{EB}\cdot \dfrac{HB}{HC}=1\Rightarrow HC=4HB

\bullet \quad \vartriangle BEC\stackrel{AOH}\Longrightarrow \dfrac{HB}{HC}\cdot \dfrac{OC}{OE}\cdot \dfrac{AE}{AB}=1\Rightarrow OC=6 OE\RightarrowOC=\dfrac{6}{7}CE,\quad OE=\dfrac{1}{7}CE

\bullet \quad OC^2-OE^2=\dots =\dfrac{5a^2}{9}


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2952
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Μιχάλης Νάννος » Τρί Σεπ 03, 2013 1:35 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC και σημεία D,E των πλευρών AC,AB αντίστοιχα, ώστε CD=2DA,AE=2EB.

Αν οι BD,CE τέμνονται στο O, να αποδειχθεί ότι AO\perp OC.

*** Διορθώθηκε typo. Ευχαριστώ τη Φωτεινή και τον Χρήστο Κυριαζή.

Καλορίζικη η πρωτοβουλία του Μπάμπη και εύχομαι να έχει την ίδια απήχηση με τη συλλογή των τετραγώνων.
Άσκηση-05.png
Άσκηση-05.png (10.84 KiB) Προβλήθηκε 1776 φορές
Είναι B\widehat EC = A\widehat DB από \triangleleft BEC =  \triangleleft ADB\,(\Pi  - \Gamma  - \Pi ), συνεπώς AEOD εγγράψιμο και εφόσον E\widehat DA = {90^ \circ }\,(AE = 2AD = 2a\,\,\& \,\,E\widehat AD = {60^ \circ }) έπεται ότι A\widehat OE = E\widehat DA = {90^ \circ }.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4954
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Doloros » Τρί Σεπ 03, 2013 2:03 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC και σημεία D,E των πλευρών AC,AB αντίστοιχα, ώστε CD=2DA,AE=2EB.

Αν οι BD,CE τέμνονται στο O, να αποδειχθεί ότι AO\perp OC.


Χαιρετώ όλους
Περίπου σαν τον φίλο το Μιχάλη
.
iso_5.png
iso_5.png (28.06 KiB) Προβλήθηκε 1759 φορές

Έστω Zτο μέσο του DC. Το τρίγωνο AEZ θα είναι ισόπλευρο και η διάμεσος προς την AZθα είναι και ύψος του. Δηλαδή \boxed{ED \bot AD}.

Τα τρίγωνα ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CEB\,\,έχουν AB = CB\,\,,\,\,DA = EB\,\,,B\widehat AD = C\widehat {BE} = {60^0} και άρα είναι ίσα ,

οπότε θα έχουν \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} και έτσι : \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}.

Στο τρίγωνο OBCη εξωτερική του γωνία C\widehat OD = \widehat {{a_3}} + \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} + \widehat {{a_1}} = {60^0} = B\widehat AC.

Το τετράπλευρο λοιπόν AEOD είναι εγγράψιμο , οπότε A\widehat OE = A\widehat DE = {90^0}. Δηλαδή \boxed{AO \bot OC}.

Φιλικά Νίκος


kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από kostas_zervos » Τρί Σεπ 03, 2013 4:17 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6
ask170.png
ask170.png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 1709 φορές

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο \overset{\triangle}{ABC} και και το σημείο M που κινείται στην πλευρά BC. Οι διχοτόμοι των γωνιών A\widehat{M}B\;,\;A\widehat{M}C τέμνουν τις AB\;,\;AC στα D\;,\;E αντίστοιχα.

Να αποδειχτεί ότι:

α) 1\leq \dfrac{BD}{DA}+\dfrac{EC}{EA}\leq \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.
β) AE\cdot DM+AD\cdot ME>AM\cdot ED.


Κώστας Ζερβός
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2952
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Μιχάλης Νάννος » Τρί Σεπ 03, 2013 5:56 pm

kostas_zervos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο \overset{\triangle}{ABC} και και το σημείο M που κινείται στην πλευρά BC. Οι διχοτόμοι των γωνιών A\widehat{M}B\;,\;A\widehat{M}C τέμνουν τις AB\;,\;AC στα D\;,\;E αντίστοιχα.

Να αποδειχτεί ότι:

α) 1\leq \dfrac{BD}{DA}+\dfrac{EC}{EA}\leq \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.
β) AE\cdot DM+AD\cdot ME>AM\cdot ED.

Άσκηση-06.png
Άσκηση-06.png (8.81 KiB) Προβλήθηκε 1677 φορές

α) Θέτω a την πλευρά του ισοπλεύρου και φέρω το ύψος AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}. Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου είναι: \dfrac{{BD}}{{DA}} + \dfrac{{EC}}{{EA}} = \dfrac{{BM}}{{AM}} + \dfrac{{MC}}{{AM}} = \dfrac{a}{{AM}}.

Ισχύει a \ge AM\mathop  \Leftrightarrow \limits^{AM \ne 0} \dfrac{a}{{AM}} \ge \dfrac{{AM}}{{AM}} = 1 και AM \ge AN \Leftrightarrow \dfrac{a}{{AM}} \le \dfrac{a}{{AN}} = \dfrac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.

β) Πρόκειται για το γενικευμένο θεώρημα του Πτολεμαίου – Σχετική συζήτηση εδώ.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8666
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από KARKAR » Τρί Σεπ 03, 2013 6:01 pm

Άσκηση 7
7.png
7.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 1676 φορές
Η χορδή AT του περικύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , τέμνει

την BC στο σημείο S . Δείξτε ότι : TB\cdot TC- SB\cdot SC=ST^2
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τρί Σεπ 03, 2013 6:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από socrates » Τρί Σεπ 03, 2013 6:08 pm

ΑΣΚΗΣΗ 8
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC με ύψος CF και διάμεσο BM ισχύουν BM=CF και \angle MBC=\angle FCA.
Δείξτε ότι είναι ισόπλευρο.

viewtopic.php?f=110&t=34632


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από socrates » Τρί Σεπ 03, 2013 6:18 pm

ΑΣΚΗΣΗ 9
Έστω ABC ένα ισόπλευρο τρίγωνο και D ένα εσωτερικό σημείο της πλευράς BC.
Ένας κύκλος εφάπτεται στην BC στο D και τέμνει τις πλευρές AB και AC στα εσωτερικά σημεία M, N και P, Q αντίστοιχα.
Δείξτε ότι |BD| + |AM| + |AN| = |CD| + |AP| + |AQ|.

viewtopic.php?f=22&t=34669


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από socrates » Τρί Σεπ 03, 2013 6:19 pm

ΑΣΚΗΣΗ 10
Έστω τρίγωνο ABC και D, E, F τα μέσα των πλευρών BC, CA, AB. Οι διάμεσοι AD, BE,  CF τέμνονται στο S.
Δύο, τουλάχιστον, από τα τετράπλευρα AF SE, BDSF, CESD είναι εγγράψιμα.
Δείξτε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο .

viewtopic.php?f=22&t=34675


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από socrates » Τρί Σεπ 03, 2013 6:21 pm

ΑΣΚΗΣΗ 11
Έστω ABC ισόπλευρο τρίγωνο και P σημείο στο εσωτερικό του. Οι ευθείες AP, BP και CP τέμνουν τις πλευρές BC, CA και AB στα σημεία X, Y και Z.
Δείξτε ότι |XY | \cdot |Y Z| \cdot |ZX| \geq |XB| \cdot |Y C| \cdot |ZA|.

viewtopic.php?f=22&t=34808


Θανάσης Κοντογεώργης

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης