Προσδιορισμός Θέσης

#1

αυτή την άσκηση τη στέλνω για να περάσω στην 667η δημοσίευση

ΑΣΚΗΣΗ

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD

να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου

ώστε το άθροισμα MA^2+MB^2+MC^2+MD^2

να γίνεται ελάχιστο

A.Spyridakis · #2

Φωτεινή έγραψε:αυτή την άσκηση τη στέλνω για να περάσω στην 667η δημοσίευση

ΧΑΧΑΧΑ!!!! ΚΑΛΟ!!!

#3

A.Spyridakis έγραψε:
Φωτεινή έγραψε:αυτή την άσκηση τη στέλνω για να περάσω στην 667η δημοσίευση
ΧΑΧΑΧΑ!!!! ΚΑΛΟ!!!

ναι ναι .. έτσι ακριβώς..

Ιστοσελίδα · #4

Από το πρώτο θεώρημα των διαμέσων έχουμε:
$\displaystyle{ MA^2 + MB^2 = 2MN^2 + \frac{{AB^2 }}{2} }$
$\displaystyle{ MC^2 + MD^2 = 2MK^2 + \frac{{CD^2 }}{2} }$
Όπου Ν και Κ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ του τετραπλεύρου.

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε :
$\displaystyle{ MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = 2(MN^2 + MK^2 ) + \frac{{AB^2 }}{2} + \frac{{CD^2 }}{2} }$
$\displaystyle{ MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = 2(2MT^2 + \frac{{NK^2 }}{2}) + \frac{{AB^2 }}{2} + \frac{{CD^2 }}{2} }$
$\displaystyle{ MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = 4MT^2 + NK^2 + \frac{{AB^2 }}{2} + \frac{{CD^2 }}{2} }$

όπου Τ το μέσο της ΝΚ

Από την τελευταία σχέση για να είναι το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του τετραπλεύρου γίνεται ελάχιστο όταν και μόνο όταν το τμήμα ΜΤ γίνεται ελάχιστο δηλαδή όταν το Μ συμπέσει με το μέσο Τ του τμήματος ΝΚ που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του.

Διερεύνηση: Προφανώς το πρόβλημα έχει δύο λύσεις

#5

spyrosk έγραψε:Διερεύνηση: Προφανώς το πρόβλημα έχει δύο λύσεις

Σπύρο ,εξήγησέ το λίγο ,γιατί... κάτι δεν βλέπω, (αυτό δεν το είχα σκεφτεί)

Ιστοσελίδα · #6

Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα των διαμέσων στα τρίγωνα ΑΜD και ΒΜC προκύπτει ότι
το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του τετραπλεύρου γίνεται ελάχιστο όταν
το τμήμα ΜΧ γίνει ελάχιστο, όπου Χ είναι το μέσο του τμήματος που συνδέει τα μέσα
των δύο άλλων πλευρών του τετραπλεύρου.

#7

Σπύρο μας μπέρδεψες

. Τα σημεία

και

που αναφέρεις, ταυτίζονται με το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα μέσα των πλευρών του δοσμένου τετραπλεύρου ( μέσον επίσης και του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του ).

Άρα η λύση είναι μοναδική για το ζητούμενο άθροισμα τετραγώνων ( επίσης, αν θεωρήσουμε τα τρίγωνα $\bigtriangleup MAC,\ \bigtriangleup MBD,$ το ίδιο σημείο προσδιορίζεται πάλι ).

Κώστας Βήττας.

Προσδιορισμός Θέσης

Προσδιορισμός Θέσης

Re: Προσδιορισμός Θέσης

Re: Προσδιορισμός Θέσης

Re: Προσδιορισμός Θέσης

Re: Προσδιορισμός Θέσης

Re: Προσδιορισμός Θέσης

Re: Προσδιορισμός Θέσης

Μέλη σε σύνδεση