2Β-Γεωμετρία

Α.Κυριακόπουλος · #1

Θεωρούμενα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Στην πλευρά του ΑΒ παίρνουμε ένα σημείο Μ και στην πλευρά του ΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Ν και υποθέτουμε ότι καθένα από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΝ και ΓΜ χωρίζει το τετράπλευρο ΑΒΓΔ σε δύο μέρη με ίσα εμβαδά. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΝ διέρχεται από το μέσον της διαγωνίου ΒΔ.

#2

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμενα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Στην πλευρά του ΑΒ παίρνουμε ένα σημείο Μ και στην πλευρά του ΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Ν και υποθέτουμε ότι καθένα από τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΝ και ΓΜ χωρίζει το τετράπλευρο ΑΒΓΔ σε δύο μέρη με ίσα εμβαδά. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΝ διέρχεται από το μέσον της διαγωνίου ΒΔ.

(... Καλά, πρωί - πρωϊ και με συνάχι, άντε να κάνεις γεωμετρία !)

Λοιπόν , έστω ότι η παράλληλη από το Δ προς την ΑΓ τέμνει τις ευθείες ΒΓ,ΒΑ στα σημεία Ε, Ζ αντίστοιχα.Προφανώς είναι
- (ΑΔΓ) = (ΑΕΓ) , (ΑΔΓΝ) = (ΑΕΝ) και έτσι (ΑΒΝ) = (ΑΔΓΝ) = (ΑΕΝ).Συνεπώς το Ν είναι μέσο του ΒΕ.

Όμοια , το Μ είναι μέσο του ΒΖ :

[ είναι (ΑΔΓ)=(ΑΖΓ) ,οπότε (ΜΑΔΓ) = ( ΜΖΓ) και τελικά (ΓΒΜ)=(ΓΜΑΔ)=(ΓΜΖ)]

Επομένως στο τρίγωνο ΒΕΖ το τμήμα ΜΝ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του. Άρα αυτό διέρχεται και από το μέσο του τμήματος ΒΔ που ενώνει την κορυφή Β με το σημείο Δ της πλευράς ΖΕ.

Μπάμπης

hsiodos · #3

Καλησπέρα

Ονομάζουμε Κ το σημείο τομής της ΜΝ με την ΒΔ. Υποθέτουμε ότι το Κ δεν είναι το μέσο της ΒΔ και ότι ΒΚ > ΚΔ (ομοίως αν ΒΚ < ΚΔ). Τότε:
$\displaystyle{({\rm B}{\rm A}{\rm K}) > \frac{{({\rm B}{\rm A}\Delta )}}{2}\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,({\rm B}{\rm K}\Gamma ) > \frac{{({\rm B}\Delta \Gamma )}}{2}}$
Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε:

$\displaystyle{ ({\rm B}{\rm A}{\rm K}) + ({\rm B}{\rm K}\Gamma ) > \frac{{({\rm B}{\rm A}\Delta )}}{2}\,\, + \frac{{({\rm B}\Delta \Gamma )}}{2} \Rightarrow ({\rm B}{\rm A}{\rm K}) + ({\rm B}{\rm K}\Gamma ) > \frac{{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )}}{2} }$ δηλαδή $\displaystyle{ ({\rm B}{\rm A}{\rm K}) + ({\rm B}{\rm K}\Gamma ) > ({\rm A}{\rm B}{\rm N})\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,({\rm B}{\rm A}{\rm K}) + ({\rm B}{\rm K}\Gamma ) > ({\rm M}{\rm B}\Gamma )\,\,\,(2)}$

$\displaystyle{ (1) \Rightarrow ({\rm A}{\rm B}{\rm N}{\rm E}{\rm K}) + ({\rm N}{\rm E}\Gamma ) > ({\rm A}{\rm B}{\rm N}{\rm E}{\rm K}) + ({\rm A}{\rm K}{\rm E}) \Rightarrow ({\rm N}{\rm E}\Gamma ) > ({\rm A}{\rm K}{\rm E})}$ \displaystyle{\displaystyle{
\Rightarrow ({\rm N}{\rm E}\Gamma ) + ({\rm K}{\rm E}{\rm N}) > ({\rm A}{\rm K}{\rm E}) + ({\rm K}{\rm E}{\rm N}) \Rightarrow ({\rm K}\Gamma {\rm N}) > ({\rm A}{\rm K}{\rm N}) \Rightarrow \Gamma \Gamma _1 > {\rm A}{\rm A}_1 (3)}

\displaystyle{
(2) \Rightarrow ({\rm M}{\rm B}\Gamma {\rm K}{\rm Z}) + ({\rm A}{\rm M}{\rm Z}) > ({\rm M}{\rm B}\Gamma {\rm K}{\rm Z}) + ({\rm Z}{\rm K}\Gamma ) \Rightarrow ({\rm A}{\rm M}{\rm Z}) > ({\rm Z}{\rm K}\Gamma )}} $\displaystyle{ \Rightarrow ({\rm A}{\rm M}{\rm Z}) + ({\rm M}{\rm Z}{\rm K}) > ({\rm Z}{\rm K}\Gamma ) + ({\rm M}{\rm Z}{\rm K}) \Rightarrow ({\rm A}{\rm M}{\rm K}) > (\Gamma {\rm M}{\rm K}) \Rightarrow {\rm A}{\rm A}_1 > \Gamma \Gamma _1 \,\,(4)}$

Από (3) και (4) είναι προφανές ότι έχουμε καταλήξει σε άτοπο. Άρα το Κ είναι το μέσο της ΒΔ.

Γιώργος

: 2B-Δάσκαλος.png (17.06 KiB) Προβλήθηκε 975 φορές

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Πολύ ωραίες και "περίεργες" λύσεις, μπορούμε να αξιοποιήσουμε ότι η ΜΝ//ΑΓ για να το αποδείξουμε; Μήπως έτσι πέφτουμε στην λύση του Μπάμπη;

#5

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Πολύ ωραίες και "περίεργες" λύσεις, μπορούμε να αξιοποιήσουμε ότι η ΜΝ//ΑΓ για να το αποδείξουμε; Μήπως έτσι πέφτουμε στην λύση του Μπάμπη;

Είναι $\displaystyle 1=\frac{(B\Gamma M)}{(ANB)}=\frac{B\Gamma \cdot BM}{BA\cdot BN}.$ Άρα $\displaystyle \frac{BM}{BA}=\frac{BN}{B\Gamma }$ οπότε ΑΓ//ΜΝ.
Έστω Θ, Η οι προβολές του Δ στις ΑΓ, ΜΝ, Ι η προβολή του Ν στην ΑΓ, Ζ και Ε οι προβολές του Β στις ΑΓ, ΜΝ.
$(AB\Gamma\Delta )=2(A\Delta\Gamma )+2(A\Gamma N)=\Delta\Theta \cdot A\Gamma+IN\cdot A\Gamma$ $=A\Gamma \cdot (\Delta \Theta +\Theta H) = A\Gamma \cdot \Delta H$
$(AB\Gamma \Delta )=2(ANB)=2(AB\Gamma )-2(A\Gamma N)=A\Gamma \cdot BZ-A\Gamma \cdot IN=A\Gamma$ $\cdot (BZ-ZE)=A\Gamma \cdot BE$
Άρα ΔΗ=ΒΕ οπότε τα τρίγωνα ΔΟΗ και ΒΟΕ είναι ίσα. Επομένως ΔΟ=ΟΒ, δηλαδή το Ο είναι το μέσο του ΒΔ.

: geogebra2.png (26.7 KiB) Προβλήθηκε 881 φορές

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Παύλο κάτι τέτοιο ήθελα αλλά δεν το έβλεπα, πολύ ωραία η λύση σου!Σε ευχαριστώ για την ανταποκρισή σου!!

2Β-Γεωμετρία

2Β-Γεωμετρία

Re: 2Β-Γεωμετρία

Re: 2Β-Γεωμετρία

Re: 2Β-Γεωμετρία

Re: 2Β-Γεωμετρία

Re: 2Β-Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση