7Β-Γεωμετρία

[Α.Κυριακόπουλος]

Δύο τρίγωνα είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο και έχουν το ίδιο κέντρο βάρους
(σημείο τομής των διαμέσων) . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα αυτά έχουν και το ίδιο ορθόκεντρο( σημείο τομής των υψών).
(Παρακαλώ οι λύσεις να στηρίζονται αποκλειστικά και μόνο στη θεωρία του σχολικού βιβλίου Γεωμετρίας).

Η λύση στο συνημμένο.

7Β.doc

(32.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 108 φορές

[Φωτεινή]

Η λύση στο συνημμένο.

7Β.doc

καλημέρα κύριε Αντώνη

αυτό το συνημμένο ήταν πειρασμός !!!...πριν διαβάσω και σκεφτώ λίγο την άσκηση ...το είχα ανοίξει,

[Α.Κυριακόπουλος]

Η λύση στο συνημμένο.

7Β.doc

καλημέρα κύριε Αντώνη

αυτό το συνημμένο ήταν πειρασμός !!!...πριν διαβάσω και σκεφτώ λίγο την άσκηση ...το είχα ανοίξει,

Φωτεινή. Συγνώμη που σε παρέσυρα. Δεν θα το ξανακάνω. Θα βάζω τη λύση, αν χρειασθεί, μετά από μερικές ημέρες. Αλλά και εσύ, βρε παιδί μου…

[vittasko]

Έστω τα ύψη του τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο και τα μέσα των πλευρών του ντιστοίχως.

Για το βαρύκεντρο του είναι γνωστό ( αποδεικνύεται άμεσα με το Θεώρημα Θαλή ), ότι ισχύει και και άρα έχουμε ( πάλι με το Θεώρημα Θαλή ) ότι και όπου είναι αντιστοίχως, οι προβολές του επί των

Έχουμε τώρα τα σημεία όπου είναι το κέντρο του των οποίων οι προβολές επί των ορίζουν τμήματα με ίσους λόγους και επομένως τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά με τον ίδιο λόγο, σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα.

Δηλαδή συμπεραίνουμε ότι και το ίδιο ισχύει για κάθε τρίγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο με βαρύκεντρο το σημείο

ΛΗΜΜΑ. - Εάν οι προβολές τριών σημείων επί δύο τεμνομένων ευθειών ορίζουν τμήματα με ίσους Λόγους, τότε τα σημεία αυτά είνα συνευθειακά με τον ίδιο Λόγο.

Η απόδειξη του ως άνω απλού και χρήσιμου Λήμματος ( με άμεση εφαρμογή στην απόδειξη του θεωρήματος της Ευθείας Euler τριγώνου ), έχει δημοσιευτεί Εδώ.

Χρόνια πολλά, Κώστας Βήττας.