Υπολογισμός εμβαδών (1)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Ασκηση 1
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εμβαδού S και θεωρούμε εσωτερικά σημεία Α' ,Β', Γ ', των πλευρών του ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΒ'=ΑΓ/3, ΒΓ'=ΑΒ/3, ΓΑ'=ΒΓ/3.H AA' τέμνει τις ΒΒ', ΓΓ' στα σημεία Δ, Ζ αντιστοιχα ενω η ΒΒ' τέμνει την ΓΓ' στο Ε. Να αποδειχτεί ότι:
1. Τα εμβαδά των τριγώνων ΑΒΒ' ,ΒΓΓ', ΓΑΑ', είναι ίσα με S/3.
2. Τα εμβαδά των τριγώνων ΑΒΔ, ΒΓΕ, ΓΑΖ είναι ίσα με 2S/7.
3. Τo εμβαδo του τριγώνου ΔΕΖ είναι S/7.

#2

Έχω μια λύση, όχι μόνο με Ευκλείδεια ...

α) Τα τρίγωνα ΑΒΒ΄ και ΑΒΓ έχουν την γωνία Α κοινή, οπότε:
$\displaystyle{\frac{(ABB')}{(AB\Gamma)}=\frac{AB \cdot AB'}{AB \cdot A\Gamma}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow (ABB')=\frac{S}{3}}$ .
Τα άλλα δύο εμβαδά προκύπτουν ομοίως ...

β) Θεωρούμε τους $x,y \in R$ , ώστε: $\displaystyle{\vec{A\Delta }=x\vec{AA'}}$ και $\displaystyle{\vec{B\Delta }=y\vec{BB'}}$ .
Επιπλέον:
$\displaystyle{\vec{A\Delta }=x\left( \vec{A\Gamma}+\vec{\Gamma A'}\right)=x\left( \vec{A\Gamma}+\frac{1}{3} \vec{\Gamma B}\right)=x\left( \vec{A\Gamma}+\frac{1}{3} \vec{\Gamma A}+\frac{1}{3} \vec{AB}\right)=\frac{2x}{3}\vec{A \Gamma}+\frac{x}{3} \vec{AB}}$ .
Τότε:
$\displaystyle{\vec{B\Delta }=y\vec{BB'}\Leftrightarrow \vec{BA}+\vec{A\Delta }=y\left( \vec{BA}+\vec{AB'}\right)\Leftrightarrow \vec{BA}+\frac{2x}{3}\vec{A \Gamma}+\frac{x}{3} \vec{AB}=y\vec{BA}+y\frac{1}{3}\vec{A \Gamma}}$ ,
οπότε $\displaystyle{1-\frac{x}{3}-y=0,\frac{2x}{3}-\frac{y}{3}=0\Leftrightarrow (x,y)=\left(\frac{3}{7},\frac{6}{7} \right)}$ .
Ομοίως με τα παραπάνω βρίσκουμε ότι:
$\displaystyle{A\Delta =\Delta Z=\frac{3}{7}AA',ZA'=\frac{1}{7}AA',BE=E\Delta =\frac{3}{7}BB',\Delta B'=\frac{1}{7}BB',\Gamma Z = ZE =\frac{3}{7}\Gamma \Gamma',E\Gamma'=\frac{1}{7}\Gamma \Gamma'}$ .
Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΒΒ' έχουν τη γωνία ΑΒΒ΄ κοινή, οπότε:
$\displaystyle{\frac{(AB\Delta)}{(ABB')}=\frac{BA \cdot B \Delta}{BA \cdot BB'}=\frac{6}{7}\Leftrightarrow (AB\Delta)=\frac{6S}{7 \cdot 3}=\frac{2S}{7}}$ .
Τα άλλα δύο εμβαδά προκύπτουν ομοίως ...

γ) Τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΔΕΖ έχουν τις γωνίες ΑΔΒ,ΕΔΖ παραπληρωματικές, οπότε:
$\displaystyle{\frac{(\Delta EZ)}{(AB \Delta)}=\frac{\Delta E \cdot \Delta Z}{\Delta A \cdot \Delta B}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow (\Delta EZ)=\frac{2S}{7 \cdot 2}=\frac{S}{7}}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

Κομψή λύση με αναλυτική!! με ευκλείδεια φέρουμε ΒΒ'' , ΓΓ'' κάθετες στην ΑΑ'' και χρησιμοποιώντας την σχεση (ΑΒΔ)=(ΓΑΑ')-(ΑΒ'Δ) , την ομοιοτητα των τριγωνων ΑΒ'Κ ΚΑΙ ΑΓΓ'' προκύπτει ΑΔ=3/7ΑΑ'.
Συγχωρεστε μου που δεν εχω χρονο να γραψω την λύση αναλυτικά

#4

...καλημέρα...

: stratos,7.png (50 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Ασκηση 1
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εμβαδού S και θεωρούμε εσωτερικά σημεία Α' ,Β', Γ ', των πλευρών του ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΑΒ'=ΑΓ/3, ΒΓ'=ΑΒ/3, ΓΑ'=ΒΓ/3.H AA' τέμνει τις ΒΒ', ΓΓ' στα σημεία Δ, Ζ αντιστοιχα ενω η ΒΒ' τέμνει την ΓΓ' στο Ε. Να αποδειχτεί ότι:
1. Τα εμβαδά των τριγώνων ΑΒΒ' ,ΒΓΓ', ΓΑΑ', είναι ίσα με S/3.
2. Τα εμβαδά των τριγώνων ΑΒΔ, ΒΓΕ, ΓΑΖ είναι ίσα με 2S/7.
3. Τo εμβαδo του τριγώνου ΔΕΖ είναι S/7.

Γενικότερα ισχύει το εξής, το οποίο ονομάζεται τύπος του Routh.

Αν τα Α' , Β', Γ ' χωρίζουν τις πλευρές σε λόγους p:1, q:1,r:1

αντίστοιχα, τότε το κεντρικό τρίγωνο ΔΕΖ έχει εμβαδόν

$\frac {(pqr-1)^2S}{(pq+p+1)(qr+q+1)(rp+r+1)}$ .

Παρατηρείστε ότι αν pqr=1 τότε το κεντρικό τρίγωνο έχει εμβαδόν 0, δηλαδή οι ΑΑ', ΒΒ', ΓΓ' συντρέχουν. Με άλλα λόγια έχουμε ως πόρισμα το θεώρημα του Ceva.

Ας προσθέσω ότι ο Ceva προτοαπέδειξε το θεώρημά του με χρήση του θεωρήματος των ροπών της Μηχανικής. Αλλά και η κατά Routh γενίκευση πρωτοέγινε με χρήση του θεωρήματος των ροπών. Σήμερα είναι γνωστές πολλές αποδείξεις, με Αναλυτική, με διανύσματα και λοιπά και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

lonis · #6

Έψαχνα μία αφορμή για να ανεβάσω το συνημμένο και η αντιμετώπιση του Λευτέρη (με τη χρήση μη συγγραμικών διανυσμάτων του επιπέδου) μου την έδωσε. Δημοσιεύτηκε στο 2ο τεύχος του Απολλώνιου, που εκδίδει το Παράρτημα ΕΜΕ Ημαθίας, τον Οκτώβριο του 2003. Ελπίζω να σας φανεί ενδιαφερον.

Λεωνίδας

#7

Κάτι μου θυμίζει η άσκηση. Μήπως την έχουμε ξαναλύσει;

Θυμάται κανείς;

Μία ακόμη λύση:
"Δανείζομαι" το σχήμα της Φωτεινής:

: 6-02-2010 CEVA.png (49.13 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

Για το (1), όπως παραπάνω...
Για το (2):
Από Τριγωνομετρικό CEVA στο ΑΒC: $\displaystyle \frac{{BA'}}{{A'C}} = \frac{{AB \cdot \eta \mu {\rm A}_1 }}{{{\rm A}C \cdot \eta \mu {\rm A}_2 }}\;\; \Rightarrow \;\;\frac{{AB \cdot \eta \mu {\rm A}_1 }}{{{\rm A}C \cdot \eta \mu {\rm A}_2 }} = 2$
Από Τριγωνομετρικό CEVA στο ΑΒB': $\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB \cdot \eta \mu {\rm A}_1 }}{{{\rm A}B' \cdot \eta \mu {\rm A}_2 }}\;\;\; \Rightarrow \;\frac{{BD}}{{DC}} = \;3 \cdot \frac{{AB \cdot \eta \mu {\rm A}_1 }}{{AC \cdot \eta \mu {\rm A}_2 }} = 6$
Οπότε $\displaystyle \left( {ABD} \right) = 6 \cdot \left( {AB'D} \right)\;\; \Rightarrow \left( {ABD} \right) = \frac{6}{7} \cdot \left( {ABB'} \right) = \frac{2}{7}\left( {ABC} \right)$ , κ.ο.κ.

Για τον Τριγωνομετρικό CEVA δείτε εδώ: viewtopic.php?f=49&t=2975.

Υπολογισμός εμβαδών (1)

Υπολογισμός εμβαδών (1)

Re: Υπολογισμός εμβαδών (1)

Re: Υπολογισμός εμβαδών (1)

Re: Υπολογισμός εμβαδών (1)

Re: Υπολογισμός εμβαδών (1)

Re: Υπολογισμός εμβαδών (1)

Re: Υπολογισμός εμβαδών (1)

Μέλη σε σύνδεση