Κύριοι τέρμα !

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8680
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κύριοι τέρμα !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από KARKAR » Πέμ Μάιος 21, 2015 2:35 pm

Κύριοι  τέρμα !.png
Κύριοι τέρμα !.png (7.81 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές
Βρείτε την εφαπτομένη της μέγιστης γωνίας \phi , υπό την οποία παίχτης που κινείται

πάνω στην γραμμή του πλάγιου άουτ , βλέπει το τέρμα του γηπέδου του σχήματος .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4968
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύριοι τέρμα !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Doloros » Πέμ Μάιος 21, 2015 3:08 pm

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κύριοι τέρμα !.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε την εφαπτομένη της μέγιστης γωνίας \phi , υπό την οποία παίχτης που κινείται

πάνω στην γραμμή του πλάγιου άουτ , βλέπει το τέρμα του γηπέδου του σχήματος .


Κύριοι τέρμα.png
Κύριοι τέρμα.png (19.11 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές


Γνωστό πρόβλημα Απολλωνίου .


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1552
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κύριοι τέρμα !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από STOPJOHN » Πέμ Μάιος 21, 2015 4:00 pm

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κύριοι τέρμα !.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε την εφαπτομένη της μέγιστης γωνίας \phi , υπό την οποία παίχτης που κινείται

πάνω στην γραμμή του πλάγιου άουτ , βλέπει το τέρμα του γηπέδου του σχήματος .

Θεωρώ την αποσταση AS=d τότε ισχύουν
\epsilon \phi \omega =\dfrac{30}{d},(1)

\epsilon \phi (\phi +\omega )=\dfrac{40}{d},

(1),(2)\Rightarrow \epsilon \phi \phi =\dfrac{10d}{d^{2}+1200},(*)

Θεωρώντας τη συνάρτηση

f(d)=\dfrac{10d}{d^{2}+1200}

f'(d)=10\dfrac{1200-d^{2}}{(d^{2}+1200)^{2}}

f'(d)=0\Leftrightarrow d=20\sqrt{3}

Aπό τον πίνακα της μονοτονίας ,κατά τα γνωστά ,η συνάρτηση έχει μέγιστο για d=20\sqrt{3},f(20\sqrt{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{12}


φιλικά Γιάννης
Συνημμένα
Kύριοι τέρμα.png
Kύριοι τέρμα.png (19.58 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5019
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κύριοι τέρμα !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από S.E.Louridas » Πέμ Μάιος 21, 2015 4:37 pm

Είναι το όμορφο και γνωστό πρόβλημα του αγάλματος, που αν δεν κάνω λάθος το διετύπωσε για πρώτη φορά ο Euler. Επιλύεται με βάση την κατασκευή του κύκλου του Απολλωνίου, κύκλου που να διέρχεται από δύο δοθέντα σημεία και εφάπτεται δοθείσας ευθείας.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4968
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κύριοι τέρμα !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Doloros » Πέμ Μάιος 21, 2015 10:13 pm

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Κύριοι τέρμα !.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Βρείτε την εφαπτομένη της μέγιστης γωνίας \phi , υπό την οποία παίχτης που κινείται

πάνω στην γραμμή του πλάγιου άουτ , βλέπει το τέρμα του γηπέδου του σχήματος .


Επανέρχομαι για πλήρη απάντηση .

Κύριοι τέρμα.png
Κύριοι τέρμα.png (20 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές


Όπως είπε και ο φίλτατος Σωτήρης το σημείο S είναι το σημείο επαφής του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία {G_1},{G_2}

κι εφάπτεται των δύο άλλων πλευρών του ορθογωνίου ABCD, που παριστάνει το γήπεδο.

Θα εργαστούμε με κλίμακα 1:10 και θέτουμε : a = B\widehat S{G_2} , b = B\widehat S{G_1} και \varphi  = {G_1}\widehat S{G_2}.

Η γωνία \varphi είναι μεγαλύτερη για κάθε άλλη θέση S' πάνω στην AB.

Επειδή {x^2} = B{G_1} \cdot B{G_2} = 12 \Rightarrow x = 2\sqrt 3. Έτσι \tan a = \dfrac{4}{{2\sqrt 3 }},\tan b = \dfrac{3}{{2\sqrt 3 }} , οπότε \tan \varphi  = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a \cdot \tan b}} και άρα


\boxed{\tan \varphi  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}}.

Φιλικά Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Μάιος 21, 2015 11:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κύριοι τέρμα !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 21, 2015 10:50 pm

Πρόκειται για το πρόβλημα του Regiomontanus. Είχα γράψει λίγα ιστορικά σχόλια στο φόρουμ, εδώ


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5019
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κύριοι τέρμα !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από S.E.Louridas » Παρ Μάιος 22, 2015 8:05 am

Καλημέρα
Ο Μιχάλης αποκατέστησε την αλήθεια (ως συνήθως). Τελικά δεν θυμόμουν καλά για την πρώτη διατύπωση του προβλήματος αυτού και είπα ότι πιθανόν να είναι του Euler.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες