Το θαλασσί τρίγωνο

KARKAR · #1

: Το θαλασσί τρίγωνο.png (12.15 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές

Ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με βάση

, μήκους

, είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο (O,2m)

,

ο οποίος εφάπτεται των ίσων πλευρών AB,AC

στα

αντίστοιχα . Υπολογίστε το (OLN)

ealexiou · #2

Αν $AN=x\wedge AO=y$ και επειδή $\triangle ANO \sim \triangle AMC$ και

μέσο της

και $\triangle ANO$ ορθογώνιο

τότε $\dfrac{x}{y}=\dfrac{y+2}{x+3}\wedge x^2+4=y^2 \Rightarrow$ $x=\dfrac{24}{5}=4.8 \wedge y=\dfrac{26}{5}=5.2$ μοναδική λύση.

Αν

μέσον του

είναι $\triangle OM'N \sim \triangle ONA \Rightarrow$

$OM'=2\cdot \dfrac{2}{5.2}=\dfrac{10}{13}\ m \wedge M'M=2\cdot \dfrac {4.8}{5.2}=\dfrac{24}{13}\ m$

Άρα $(OLN)=\dfrac{10}{13}\cdot \dfrac{24}{13}=\dfrac{240}{169}\ m^2=1.4201..m^2$

: Το θαλασσί τρίγωνο.png (17.58 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Φανης Θεοφανιδης · #3

Καλησπέρα Θανάση και Ευθύμη ή μάλλον καλημέρα.
$LN\parallel BC$
BL=BE=3

Άρα

ισοσκελές τραπέζιο.
Είναι $BF+FG+GC=6\Rightarrow c+h+n=6\Rightarrow 2c+h=6\Rightarrow c=\frac{6-h}{2}$ $\left(1 \right)$
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ODN

έχουμε
$ON^{2}=OD^{2}+DN^{2}\Rightarrow OD=\frac{\sqrt{16-h^{2}}}{2}$ $\left(2 \right)$
Από το ορθογώνιο τρίγωνο LFB

έχουμε
$BL^{2}=c^{2}+m^{2}$ $\left(3 \right)$
Από την $\left(1 \right)$ , $\left(2 \right)$ και λόγω του ότι m=OD+OE

η $\left(3 \right)$ γράφεται
$9=\left(\frac{6-h}{2} \right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{16-h^{2}}}{2}+2 \right)^{2}\Rightarrow$
$\Rightarrow h=\frac{48}{13}$
Από την $\left(2 \right)$ έχουμε $OD=\frac{10}{13}$
Είναι $\left(OLN \right)=\frac{1}{2}\bullet OD\bullet h=\frac{240}{169}$ .

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Το θαλασσί τρίγωνο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με βάση , μήκους , είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο ,

ο οποίος εφάπτεται των ίσων πλευρών στα αντίστοιχα . Υπολογίστε το

Καλημέρα σε όλους.

: Το θαλασσί τρίγωνο.png (10.12 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

$\displaystyle{(ABC) = sr = \frac{{a{v_a}}}{2} \Leftrightarrow 2(b + 3) = 3{v_a}}$ και από Πυθαγόρειο έχουμε
$\displaystyle{{b^2} = {v_a}^2 + 9}$ . Από τις δύο αυτές εξισώσεις βρίσκουμε $\displaystyle{b = \frac{{39}}{5}}$

Από νόμο συνημιτόνων στο ABC

παίρνουμε $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu A = \frac{{119}}{{169}} \Rightarrow \eta \mu A = \eta \mu (L\widehat ON) = \frac{{120}}{{169}}}$

$\displaystyle{(OLN) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\eta \mu A \Leftrightarrow }$ $\boxed{(OLN) = \frac{{240}}{{169}}}$

thanasis.a · #5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Το θαλασσί τρίγωνο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με βάση , μήκους , είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο ,

ο οποίος εφάπτεται των ίσων πλευρών στα αντίστοιχα . Υπολογίστε το

: draw-1.png (34.28 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

..καλό μεσημέρι..

Επειδή $ON\perp AC,OM\perp BC$ λόγω εφαπτομένων πλευρών του τριγώνου στον κύκλο. Κατά συνέπεια το ONCM

είναι εγγράψιμο και άρα από Θ. Πτολεμαίου έχουμε:

$OC\cdot MN=ON\cdot MC+OM\cdot NC\,\,\,(1)$ . Ταυτόχρονα από Θ. Πυθαγόρα στο $\bigtriangleup ONC:...OC=\sqrt{13}\,\,\,\,(2)$ . Άρα από (1),(2) έχουμε: $\displaystyle \boxed{MN=\frac{12\sqrt{13}}{\sqrt{13}}}$ .

Στο $\bigtriangleup MLN:\hat{MLN}=\hat{LNM}=\hat{NMC}=\hat{MNC}$ (από χορδές-εφαπτομένες) και κατά συνέπεια έχουμε: $\displaystyle\bigtriangleup LMN\approx \bigtriangleup MNC\Rightarrow \frac{MN}{LN}=\frac{NC}{LM}\Rightarrow ....\Rightarrow \boxed{LN=\frac{48}{13}}$ .

Από το $\displaystyle\bigtriangleup OFN(\hat{F}=90^{\circ})\Rightarrow \displaystyle OF^{2}=ON^{2}-FN^{2}\Rightarrow OF^{2}=ON^{2}-\frac{LN^{2}}{4}$ $...\Rightarrow \boxed{OF=\frac{10}{13}}$ . Καταλήγοντας έχουμε : $\displaystyle (OLN)=\frac{1}{2}\cdot LN\cdot OF\Rightarrow ...\Rightarrow \boxed{(OLN)=\frac{240}{169}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Το θαλασσί τρίγωνο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με βάση , μήκους , είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο ,

ο οποίος εφάπτεται των ίσων πλευρών στα αντίστοιχα . Υπολογίστε το

$\displaystyle{\angle A + \angle LON = {180^0} \Rightarrow \frac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {LON} \right)}} = \frac{{{b^2}}}{4}(1)}$

$\displaystyle{2\left( {ABC} \right) = 6\sqrt {{b^2} - 9} \Rightarrow \left( {ABC} \right) = 3\sqrt {{b^2} - 9} = 4\left( {ODC} \right) + 2\left( {OAN} \right) \Rightarrow 3\sqrt {{b^2} - 9} = 12 + 2(b - 3) \Rightarrow \boxed{b = \frac{{39}}{5}}}$

Τότε εύκολα βρίσκουμε $\displaystyle{{\left( {ABC} \right) = {{\left( {\frac{{39}}{{10}}} \right)}^2}}}$ κι από την $\displaystyle{(1)}$ $\displaystyle{\boxed{\left( {LON} \right) = \frac{{240}}{{169}}}}$

: θ.τ.png (10.03 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές

Το θαλασσί τρίγωνο

Το θαλασσί τρίγωνο

Re: Το θαλασσί τρίγωνο

Re: Το θαλασσί τρίγωνο

Re: Το θαλασσί τρίγωνο

Re: Το θαλασσί τρίγωνο

Re: Το θαλασσί τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση