Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

#1

Να κατασκευασθεί ορθογώνιο τρίγωνο ABC

αν γνωρίζουμε το μήκος της υποτείνουσας BC=a

και το σημείο επαφής

του εγγεγραμμένου κύκλου με την υποτείνουσα.

#2

george visvikis έγραψε:Να κατασκευασθεί ορθογώνιο τρίγωνο αν γνωρίζουμε το μήκος της υποτείνουσας και το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την υποτείνουσα.

Καλησπέρα Γιώργο.

: Κατασκευή τριγώνου_Γ Βισβ.png (15.65 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Ας είναι

και

το μέσο του

.

Επειδή $BP = s - c\,\,,\,\,\,2s = a + b + c$ θα είναι $PM = \dfrac{a}{2} - BP = \dfrac{{b - c}}{2} = d$ .

Για το σημείο

της

με

θα ισχύει

$TC = 2d\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\widehat TC = 135^\circ$ και συνεπώς το τρίγωνο TBC

κατασκευάζεται.

Η μεσοκάθετος στο

τέμνει την ευθεία

στην κορυφή

του ζητούμενο ορθογωνίου τριγώνου.

Φιλικά Νίκος

KARKAR · #3

: Μετατροπή.png (5.28 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές

Μια μετατροπή του προβλήματος . Θεωρούμε γνωστό ότι αν CP=s

,

, ισχύει : $b\cdot c=2s t$

Οπότε θέλω για τις πλευρές b,c

να ισχύουν : $b\cdot c=k^2$ και b^2+c^2=m^2

. Κατασκευάστε τες !

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Μετατροπή.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Μια μετατροπή του προβλήματος . Θεωρούμε γνωστό ότι αν , , ισχύει : $b\cdot c=2s t$

Οπότε θέλω για τις πλευρές να ισχύουν : $b\cdot c=k^2$ και . Κατασκευάστε τες !

Καλησπέρα σε όλους.

: παραλλαγή KarKar.png (20.11 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Χωρίς λόγια για την ώρα .
Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου BC = m

και κύκλο

που, υποθέτω, το τέμνει στο

( δηλαδή

) .

Ας είναι

η προβολή του

στη διάμετρο

. Θέτω

και υψώνω κάθετο στο

επί την

.

Γράφω νέο κύκλο (C,d)

που τέμνει την προηγούμενη κάθετο στο

( προς τη μεριά του ημικυκλίου) .

Η από το

παράλληλη στην

, υποθέτω ότι, τέμνει το ημικύκλιο στο

.

( Προς τούτο πρέπει $2d \leqslant m\,\,\,$ και άρα $\boxed{k \leqslant \frac{{m\sqrt 2 }}{2}}$ )

Είναι ${b^2} + {c^2} = {m^2}$ και $bc = 2(ABC) = md = {k^2}$ , σύμφωνα με το Θεώρημα Ευκλείδη (Προβολών).

Αν $\boxed{k = \frac{{m\sqrt 2 }}{2}}$ έχουμε b = c

…

Φιλικά Νίκος

#5

KARKAR έγραψε:
Μετατροπή.png
Μια μετατροπή του προβλήματος . Θεωρούμε γνωστό ότι αν , , ισχύει : $b\cdot c=2s t$

Οπότε θέλω για τις πλευρές να ισχύουν : $b\cdot c=k^2$ και . Κατασκευάστε τες !

Θανάση και Νίκο καλησπέρα.

● Ένα τρόπος είναι αλγεβρικός:
$\displaystyle{{b^2} + {c^2} = {(b + c)^2} - 2bc \Leftrightarrow b + c = \sqrt {{m^2} + 2{k^2}} }$
Άρα οι πλευρές b,c

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{{x^2} - \sqrt {{m^2} + 2{k^2}} \cdot x + {k^2} = 0,m \geqslant k\sqrt 2 }$

● Ένας άλλος τρόπος είναι περισσότερο γεωμετρικός.
Αν

είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, τότε:
$\displaystyle{(ABC) = \frac{{bc}}{2} = \frac{{mh}}{2} \Leftrightarrow h = \frac{k^2}{{{m}}}}$ , το οποίο κατασκευάζεται γεωμετρικά.

Άρα η κορυφή

του τριγώνου ABC

προσδιορίζεται ως η τομή του κύκλου διαμέτρου BC=m

και της ευθείας που είναι παράλληλη στη

σε απόσταση

. Οι

είναι οι ζητούμενες πλευρές.

#6

george visvikis έγραψε:Να κατασκευασθεί ορθογώνιο τρίγωνο αν γνωρίζουμε το μήκος της υποτείνουσας και το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την υποτείνουσα.

Το τόξο του κύκλου έστω (K)

χορδής

που βλέπει την

υπό γωνία $135^{o}$ ( εύκολη κατασκευή ), τέμνει την δια του σημείου

κάθετη ευθεία επί την

, στο σημείο έστω

που ταυτίζεται με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου έστω (I)

, του ζητούμενου ορθογωνίου τριγώνου $\vartriangle ABC$ το οποίο προκύπτει άμεσα, από τις δια των σημείων $B,\ C$ εφαπτόμενες του (I)

.

Κώστας Βήττας.

sakis1963 · #7

: GEOMETRIA Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου.png (20.17 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές

Καλημέρα στην παρέα (των κατασκευαστών),
Κώστα με πρόλαβες

οπότε βάζω ένα σχήμα για την κατασκευή του τόξου των 135^o, (45^o)

και μια βελτιωμένη έκδοση για το δεύτερο βήμα.
Αφού το

είναι μέσο και

έκκεντρο η

είναι η διχοτόμος της $\hat{A}$ του ζητούμενου τριγώνου και το

προσδιορίζεται από την τομή της

με τον κύκλο (O)

.

Φιλικά Σάκης

edit : Αλλαξα το

με

να ταιριάζει και με τη λύση του Κώστα

Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

Re: Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

Re: Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

Re: Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

Re: Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

Re: Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

Re: Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση