Λόγος Εμβαδών

#1

Αν ΑD,ΒΕ,CΖ οι διχοτόμοι ενός τριγώνου ΑΒC ,να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{(DEZ)}{(ABC)}=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

#2

Μία απάντηση με ύλη Β΄Λυκείου και μόνο...

: 6-02-2009 Embada.png (6.2 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Από Θ. Διχοτόμων: $\displeystyle {\rm A}{\rm Z} = \frac{{\beta \gamma }}{{\alpha + \beta }},\;\;{\rm A}{\rm E} = \frac{{\beta \gamma }}{{\alpha + \gamma }}$
Τα ΑΖΕ, ΑΒΓ έχουν τη γωνία Α κοινή, άρα: $\displeystyle \frac{{\left( {AZE} \right)}}{{\left( {A{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{{{\rm A}{\rm Z} \cdot {\rm A}{\rm E}}}{{\beta \gamma }} = \frac{{\beta \gamma }}{{\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\alpha + \gamma } \right)}}$

Επίσης, αντίστοιχα είναι: $\displeystyle \frac{{\left( {{\rm B}Z\Delta } \right)}}{{\left( {A{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{{{\rm B}{\rm Z} \cdot {\rm B}\Delta }}{{\alpha \gamma }} = \frac{{\alpha \gamma }}{{\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\beta + \gamma } \right)}},\;\;\frac{{\left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right)}}{{\left( {A{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{{\Gamma \Delta \cdot \Gamma {\rm E}}}{{\alpha \beta }} = \frac{{\alpha \beta }}{{\left( {\beta + \gamma } \right)\left( {\alpha + \gamma } \right)}}$

Οπότε:
$\displeystyle \frac{{\left( {\Delta {\rm E}{\rm Z}} \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = \frac{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) - \left( {{\rm A}{\rm Z}{\rm E}} \right) - \left( {{\rm B}{\rm Z}\Delta } \right) - \left( {\Gamma \Delta {\rm E}} \right)}}{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}} = 1 - \frac{{\beta \gamma }}{{\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\alpha + \gamma } \right)}} - \frac{{\alpha \gamma }}{{\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\beta + \gamma } \right)}} - \frac{{\alpha \beta }}{{\left( {\beta + \gamma } \right)\left( {\alpha + \gamma } \right)}} =$

$\displeystyle = \frac{{\alpha ^2 \beta + \alpha \beta ^2 + \alpha \gamma \beta + \beta ^2 \gamma + \alpha ^2 \gamma + \alpha \beta \gamma + \alpha \gamma ^2 + \beta \gamma ^2 - \beta ^2 \gamma - \beta \gamma ^2 - \alpha ^2 \gamma - \alpha \gamma ^2 - \alpha ^2 \beta - \alpha \beta ^2 }}{{\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\alpha + \gamma } \right)\left( {\beta + \gamma } \right)}} = \frac{{2\alpha \beta \gamma }}{{\left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\alpha + \gamma } \right)\left( {\beta + \gamma } \right)}}$

Γιώργος Ρίζος

#3

Rigio έγραψε:Μία απάντηση με ύλη Β΄Λυκείου και μόνο...

...

Λόγος Εμβαδών

Λόγος Εμβαδών

Re: Λόγος Εμβαδών

Re: Λόγος Εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση