Ελάχιστη τιμή!

Ορέστης Λιγνός · #1

Σε τρίγωνο ABC

τα σημεία

είναι μέσα των πλευρών BC,CA

, αντίστοιχα, και

το ύψος από το

. Ο κύκλος που περνά από τα A,M

και εφάπτεται στην

, τέμνει την

στο

.

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{BX}{CF}$ , κάθως και για ποια τρίγωνα ABC

επιτυγχάνεται η ελάχιστη τιμή .

: LOGOS.png (18.56 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές

Ορέστης Λιγνός · #2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Σε τρίγωνο τα σημεία είναι μέσα των πλευρών , αντίστοιχα, και το ύψος από το . Ο κύκλος που περνά από τα και εφάπτεται στην , τέμνει την στο .

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{BX}{CF}$ , κάθως και για ποια τρίγωνα επιτυγχάνεται η ελάχιστη τιμή .

LOGOS.png

Είναι κρίμα ''να μείνει στο ράφι''...

Al.Koutsouridis · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Σε τρίγωνο τα σημεία είναι μέσα των πλευρών , αντίστοιχα, και το ύψος από το . Ο κύκλος που περνά από τα και εφάπτεται στην , τέμνει την στο .

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{BX}{CF}$ , κάθως και για ποια τρίγωνα επιτυγχάνεται η ελάχιστη τιμή .

LOGOS.png

Καλησπέρα,

Μια προσπάθεια...

Είναι $CF \leq AC$ οπότε $\dfrac{BX}{CF} \geq \dfrac{BX}{AC}$ (1)

Παρατηρούμε επίσης ότι τα τρίγωνα AXM

και

είναι όμοια, αφού $\angle AXM = \angle MAL$ λόγο χορδής και εφαπτομένης και $\angle XAM = \angle AML$ ως εντός εναλλάξ. Οπότε θα ισχύει $\dfrac{AX}{AM} = \dfrac{AM}{ML}$ . H (1) τώρα γράφεται

$\dfrac{BX}{CF} \geq \dfrac{BX}{AC} = \dfrac{AX+AB}{2AM} = \dfrac{AX}{2AM} + \dfrac{AB}{2AM} = \dfrac{AM}{2ML} +\dfrac{ML}{AM} \geq \sqrt{2}$

Η τελευταία ανισότητα ισχύει αφού είναι ισοδύναμη με την $(AM)^{2} -2\sqrt{2} \cdot AM\cdot ML+2(ML)^{2} = (AM -\sqrt{2} \cdot ML)^{2} \geq 0$

Με την ισότητα να ισχύει όταν $AM = \sqrt{2}ML$ .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το ελάχιστο επιτυγχάνεται όταν το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο στο

και $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

Μία τέτοια αναλογία έχει για παράδειγμα η διαγώνιος ενός κύβου με την διαγώνιο μιας έδρας του.

Ελάχιστη τιμή!

Ελάχιστη τιμή!

Re: Ελάχιστη τιμή!

Re: Ελάχιστη τιμή!

Μέλη σε σύνδεση