Καθετότητα και λόγος

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA175 Καθετότητα και λόγος.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC, (AB=AC)

ο κύκλος

τέμνει την

στο

και τον περίκυκλο ABC

στο

.

α. Αν $S\equiv BP \cap CT$ δείξτε ότι $AS \perp BC$

β. Για ποιό λόγο $\dfrac{AB}{BC}$ ο κύκλος (B, BC)

διχοτομεί το

;

#2

sakis1963 έγραψε:GEOMETRIA175 Καθετότητα και λόγος.png
Σε ισοσκελές τρίγωνο ο κύκλος τέμνει την στο και τον περίκυκλο στο .

α. Αν $S\equiv BP \cap CT$ δείξτε ότι $AS \perp BC$

β. Για ποιό λόγο $\dfrac{AB}{BC}$ ο κύκλος διχοτομεί το ;

Χρόνια Πολλά, Σάκη!

: Καθετότητα και λόγος.Sakis..png (23.29 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

α) $\displaystyle{P\widehat BT = 2P\widehat CT = 2A\widehat CT = 2A\widehat BT \Leftrightarrow SB = SC}$ , άρα η

είναι μεσοκάθετος της BC.

β) Λίγο συνοπτικά γιατί έχει πολλές πράξεις.Έστω AM=MS=x

και

Είναι

,

αλλά τo MBC

είναι ισόπλευρο, οπότε $\displaystyle{x + SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}$ , άρα: $\displaystyle{x = AD - \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \frac{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} - a\sqrt 3 }}{2}}$ (1)

Από νόμο συνημιτόνων στο BTC

κι επειδή $C\widehat BT=180^0-2\widehat A$ , παίρνω $\boxed{TC=2acosA}$ (2)

$\displaystyle{TS \cdot SC = {a^2} - {y^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} y(2a\cos A - y) = {a^2} - {y^2} \Leftrightarrow y = \frac{a}{{2\cos A}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{y = \frac{{a{b^2}}}{{2{b^2} - {a^2}}}}$ (3)

Από νόμο συνημιτόνων στο BSM:

$\boxed{y^2=a^2+x^2-ax\sqrt 3}$ (4)

Από τις σχέσεις (1), (3), (4)

με απαλοιφή του

παίρνουμε τελικά, $\boxed{\frac{b}{a} = \frac{{\sqrt {18 + 2\sqrt {33} } }}{4}}$

Καθετότητα και λόγος

Καθετότητα και λόγος

Re: Καθετότητα και λόγος

Μέλη σε σύνδεση