Άθροισμα εμβαδών

#1

: Άθροισμα εμβαδών..png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

Από τα άκρα A, B

της μικρής βάσης τραπεζίου ABCD

φέρνω δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους που τέμνουν τη μεγάλη

βάση

. Αυτές οι δύο ευθείες και οι διαγώνιες του τραπεζίου, σχηματίζουν ένα πεντάγωνο και

τρίγωνα. Να δείξετε ότι το

εμβαδόν του πενταγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τριών τριγώνων που έχουν από μία κοινή πλευρά με το τραπέζιο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε:Άθροισμα εμβαδών..png
Από τα άκρα της μικρής βάσης τραπεζίου φέρνω δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους που τέμνουν τη μεγάλη

βάση . Αυτές οι δύο ευθείες και οι διαγώνιες του τραπεζίου, σχηματίζουν ένα πεντάγωνο και τρίγωνα. Να δείξετε ότι το

εμβαδόν του πενταγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τριών τριγώνων που έχουν από μία κοινή πλευρά με το τραπέζιο.

Λόγω του τραπεζίου $\displaystyle{ABLK \Rightarrow \left( {ABO} \right) = \left( {OKL} \right)}$

Λόγω του τραπεζίου $\displaystyle{ABPD \Rightarrow \left( {ADK} \right) = \left( {BKP} \right) = \left( {KQP} \right)}$ (αφού $\displaystyle{KP//BQ}$ )

Λόγω του τραπεζίου $\displaystyle{ABCQ \Rightarrow \left( {BLC} \right) = \left( {ALQ} \right) = \left( {KLQ} \right)}$ (αφού $\displaystyle{LQ//AP}$ )

Τώρα το ζητούμενο είναι προφανές

: ae.png (15.37 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

nikkru · #3

george visvikis έγραψε:Άθροισμα εμβαδών..png
Από τα άκρα της μικρής βάσης τραπεζίου φέρνω δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους που τέμνουν τη μεγάλη

βάση . Αυτές οι δύο ευθείες και οι διαγώνιες του τραπεζίου, σχηματίζουν ένα πεντάγωνο και τρίγωνα. Να δείξετε ότι το

εμβαδόν του πενταγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τριών τριγώνων που έχουν από μία κοινή πλευρά με το τραπέζιο.

Άλλη μια παραλλαγή της λύσης:
Φέρνουμε το ύψος του τραπεζίου που είναι και ύψος των τριγώνων ABD, ABC

.

: Άθροισμα εμβαδών.png (22.68 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

Τότε: $(E2+E6+E1)+(E1+E4+E5)=\frac{AB\cdot u}{2}+\frac{AB\cdot u}{2}=$ $AB\cdot u=(ABQP)=E1+E3+E5+E6$
δηλαδή : $E2+E6+E1+E1+E4+E5=E1+E3+E5+E6\Leftrightarrow E2+E1+E4=E3$ .

Άθροισμα εμβαδών

Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Re: Άθροισμα εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση