Προσδιορισμός κορυφής

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5052
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Προσδιορισμός κορυφής

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Τρί Μαρ 14, 2017 1:27 pm

Προσδιορισμός κορυφής.png
Προσδιορισμός κορυφής.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

Το σημείο A κινείται σε ημικύκλιο κέντρου O και διαμέτρου BOC=2R. Αν η διχοτόμος της γωνίας A\widehat BC τέμνει το

ημικύκλιο διαμέτρου BO στο I και την AC στο E, να προσδιορίσετε τη θέση του A ώστε το I να είναι το έγκεντρο

του τριγώνου ABC. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το μήκος του OE συναρτήσει του R.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8296
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Προσδιορισμός κορυφής

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από KARKAR » Τρί Μαρ 14, 2017 2:33 pm

Κοίτα ιδιότητες.png
Κοίτα ιδιότητες.png (22.52 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Προσοχή , όχι λύση ! Το τρίγωνο 3-4-5 , πάντως , πληρεί τις απαιτήσεις της

εκφώνησης . Κοιτάξτε ( βρείτε ) τις αποστάσεις του εγκέντρου από τις κορυφές .

Δείξτε ότι το OIEC είναι χαρταετός με ορθή μάλιστα τη γωνία \widehat{OIE} :!:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4544
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Προσδιορισμός κορυφής

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Doloros » Τρί Μαρ 14, 2017 9:00 pm

Πριν τον υπολογισμό η κατασκευή στο παρακάτω σχήμα.

προσδιορισμός κορυφής.png
προσδιορισμός κορυφής.png (29.85 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές


Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο IBC και από το θ. συνημιτόνου στο

τρίγωνο IOC έχω {y^2} = I{O^2} = I{T^2} = \dfrac{{2{R^2}}}{5} και αφού 2{x^2} = 4{y^2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{R\sqrt {10} }}{5}} .

προσδιορισμός κορυφής_ υπολογισμοί.png
προσδιορισμός κορυφής_ υπολογισμοί.png (40.87 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές


Θα ψάξω για πιο κομψή λύση .

Μάλλον η παρακάτω είναι πιο κομψή :

Από το έμμεσο κριτήριο \vartriangle EIC = \vartriangle OIC γιατί IE = IO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ECI} = \widehat {OCI} έχουν δε και

την IC κοινή. Έτσι θα έχουν EC = OC = R . Όμως από το θ. διχοτόμου

\boxed{EC = \frac{{ba}}{{a + c}} = \frac{{2Rb}}{{a + c}}} οπότε a + c = 2b\,\,(1) αλλά

{a^2} - {c^2} = {b^2} \Rightarrow (a + c)(a - c) = {b^2} \Rightarrow 2(a - c) = b\,\,(2) λόγω των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) προκύπτει

ότι το τρίγωνο \vartriangle ABC \to (5\kappa ,4\kappa ,3\kappa )\,\,\kappa  > 0 κ. λ. π.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3569
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Προσδιορισμός κορυφής

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 15, 2017 2:01 am

george visvikis έγραψε:Το σημείο A κινείται σε ημικύκλιο κέντρου O και διαμέτρου BOC=2R. Αν η διχοτόμος της γωνίας A\widehat BC τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου BO στο I και την AC στο E, να προσδιορίσετε τη θέση του A ώστε το I να είναι το έγκεντρο ου τριγώνου ABC. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το μήκος του OE συναρτήσει του R.


Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση της κατασκευής του A

Έστω M το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου OB και I το δεύτερο (εκτός του M) σημείο τομής του με την CM. Αν K\equiv BI\cap \left( O \right),K\ne B .

Τότε \angle CIK = \angle BIM = {45^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{BK \bot KC} KI = KC. Ο κύκλος \left( K,KC=KI \right) επανατέμνει τον \left( O \right) στο σημείο A που είναι και το ζητούμενο.

Πράγματι BI \equiv BK διχοτόμος της \angle ABC\left( {KA = KC} \right) και \angle IAC\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\,\, - \,\,\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta } \dfrac{{\angle IKC}}{2} = {45^0} \Rightarrow AI διχοτόμος της \angle BAC,
άρα I το έγκεντρο του \vartriangle ABC .

Προσδιορισμός κορυφής.png
Προσδιορισμός κορυφής.png (28.22 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές

Οσο για την OE έχουμε: \vartriangle IOC\mathop  = \limits^{\Gamma  - \Pi  - \Gamma } \vartriangle IEC \Rightarrow IE = IO = \frac{{KC}}{2} = \dfrac{{KI}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{\Pi .\Theta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle OIK} 5O{I^2} = {R^2}\mathop  \Rightarrow \limits^{2O{I^2} = O{E^2}}  \Rightarrow  \ldots \boxed{OE = \dfrac{{R\sqrt {10} }}{5}}
Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot], Google [Bot] και 3 επισκέπτες