Ελάχιστο αθροίσματος
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Ελάχιστο αθροίσματος
του αθροίσματος και να εντοπίσετε το σημείο
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Ελάχιστο αθροίσματος
Δυο μέρες είναι πολλές για αναπάντητο θέμα αναρτημένο στο . Σχεδόν ξεχασμένο το λες.
Κάνω μια προσπάθεια, που καταλήγει στην ανάγκη χρήσης τεχνολογιών. Οπότε θεωρώ ότι είναι αποτυχημένη.
Την αναρτώ, ως αφορμή για να ασχοληθούν οι αγαπητοί κι εκλεκτοί φίλοι!
Έστω κύκλος κέντρου . Έστω η πλευρά του περιγεγραμμένου τριγώνου και το ύψος του.
Είναι , οπότε .
Έτσι, .
Έστω σημείο του κύκλου, με .
Οπότε
Έστω
.
Βρίσκω min για περίπου ίσο με και ελάχιστη τιμή , με πλευρά τριγώνου , άρα ανάγοντάς το σε τυχαία πλευρά , είναι .
Κάνω μια προσπάθεια, που καταλήγει στην ανάγκη χρήσης τεχνολογιών. Οπότε θεωρώ ότι είναι αποτυχημένη.
Την αναρτώ, ως αφορμή για να ασχοληθούν οι αγαπητοί κι εκλεκτοί φίλοι!
Έστω κύκλος κέντρου . Έστω η πλευρά του περιγεγραμμένου τριγώνου και το ύψος του.
Είναι , οπότε .
Έτσι, .
Έστω σημείο του κύκλου, με .
Οπότε
Έστω
.
Βρίσκω min για περίπου ίσο με και ελάχιστη τιμή , με πλευρά τριγώνου , άρα ανάγοντάς το σε τυχαία πλευρά , είναι .
Re: Ελάχιστο αθροίσματος
Χαιρετώ τους φίλους Γιώργο και Γιώργο.
Και μια δική μου (ημιτελής) προσπάθεια.
Και μια δική μου (ημιτελής) προσπάθεια.
Re: Ελάχιστο αθροίσματος
Ακριβής τιμή ( με Ευκλείδεια Γεωμετρία)
Αφού αποδείξουμε to Λήμμα:
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο και τα μέσα των πλευρών .
Έστω ακόμα οι εγγεγραμμένοι κύκλοι του και του .
Σημείο διαγράφει το κύκλο και η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .
Αν το μέσο του τότε το είναι ισοσκελές με κορυφή το .
Μετά με τριγωνική ανίσωση οδηγούμαστε στη θέση του . Το λογιστικό μετά μέρος εύκολο.
Παρατήρηση. Έχω για το λήμμα βρει δύο λύσεις
Αφού αποδείξουμε to Λήμμα:
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο και τα μέσα των πλευρών .
Έστω ακόμα οι εγγεγραμμένοι κύκλοι του και του .
Σημείο διαγράφει το κύκλο και η τέμνει τον κύκλο στο σημείο .
Αν το μέσο του τότε το είναι ισοσκελές με κορυφή το .
Μετά με τριγωνική ανίσωση οδηγούμαστε στη θέση του . Το λογιστικό μετά μέρος εύκολο.
Παρατήρηση. Έχω για το λήμμα βρει δύο λύσεις
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Ελάχιστο αθροίσματος
Καλημέρα σε όλους !
Οφείλω να την έμπνευση του Νίκου !
Μια σύντομη απόδειξη του λήμματος. Το λήμμα ζητά να δείξουμε ότι . Έστω το μέσον του .
Τότε στο τα μέσα , άρα δηλ το ανήκει στον μικρό κύκλο
αφού η ακτίνα του είναι η μισή του μεγάλου. ().
Ακόμη το είναι χαρταετός αφού και . Άρα .
Συνεπώς (όπως εννοεί και ο Νίκος ) έχουμε ,
έτσι το ζητούμενο είναι η τομή του με τον έγκυκλο του
και το ελάχιστο είναι (με Πυθαγόρειο στο ορθ. )..
Φιλικά Γιώργος.
Οφείλω να την έμπνευση του Νίκου !
Μια σύντομη απόδειξη του λήμματος. Το λήμμα ζητά να δείξουμε ότι . Έστω το μέσον του .
Τότε στο τα μέσα , άρα δηλ το ανήκει στον μικρό κύκλο
αφού η ακτίνα του είναι η μισή του μεγάλου. ().
Ακόμη το είναι χαρταετός αφού και . Άρα .
Συνεπώς (όπως εννοεί και ο Νίκος ) έχουμε ,
έτσι το ζητούμενο είναι η τομή του με τον έγκυκλο του
και το ελάχιστο είναι (με Πυθαγόρειο στο ορθ. )..
Φιλικά Γιώργος.
Re: Ελάχιστο αθροίσματος
Λίγο διαφορετικά από το αγαπητό Γιώργο Μήτσιο στην απόδειξή του λήμματος.george visvikis έγραψε:Ελάχιστο αθροίσματος.png
Το σημείο κινείται στον έγκυκλο ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς Να βρείτε την ελάχιστη τιμή
του αθροίσματος και να εντοπίσετε το σημείο
Επειδή το κέντρο είναι βαρύκεντρο του ,το δε μέσο του , ισχύει:
. Δηλαδή η δέσμη είναι αρμονική και αφού
γιατί βαίνει σε ημικύκλιο στο τρίγωνο η είναι εσωτερική
διχοτόμος . Όμως το είναι το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας των δύο κύκλων ,
συνεπώς . Μετά απ’ αυτά : , άρα το είναι ισοσκελές
επί πλέον δε το είναι μέσο του .
Τώρα στην άσκηση :
Από το έχω: .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ελάχιστο αθροίσματος
Να σας ευχαριστήσω όλους για την ενασχόληση με το θέμα. Τον Γιώργο Ρίζο για την αναλυτικο-τριγωνομετρική προσέγγιση, τον Ευθύμη Αλεξίου για την γεωμετρική κατασκευή, τον Νίκο Φραγκάκη για την κατασκευή, το λήμμα και την γεωμετρική λύση και τον Γιώργο Μήτσιο για την απόδειξη του λήμματος και τον υπολογισμό. Όσο για το μέγιστο που προτείνει ο Θανάσης, δεν μπόρεσα να βρω κάτι, εκτός ίσως από τη γωνία (στο σχήμα του Νίκου) που φαίνεται να είναι (αλλά δεν έχω απόδειξη και μπορεί να κάνω και λάθος).Να πω όμως δυο λόγια για το γεωμετρικό αυτό πρόβλημα.
Πριν από μερικές μέρες είχα βάλει μία άσκηση εδώ που δεν έτυχε ευρείας αποδοχής. Για την ακρίβεια, απάντησε μόνο ο κ. Λάμπρου, και είμαι σίγουρος ότι θα απόρησε, πώς μου ήρθε να βάλω κάτι τόσο φανερό! Στην πραγματικότητα εκείνη η άσκηση μπήκε για να προετοιμάσει το έδαφος σε αυτό εδώ το θέμα.
Πράγματι, στην παραπομπή αποδείχτηκε ότι για κάθε σημείο του έγκυκλου είναι ( μέσο του ) Άρα:
, που λύνει κατασκευαστικά το πρόβλημα και απλουστεύει τον υπολογισμό.
Πριν από μερικές μέρες είχα βάλει μία άσκηση εδώ που δεν έτυχε ευρείας αποδοχής. Για την ακρίβεια, απάντησε μόνο ο κ. Λάμπρου, και είμαι σίγουρος ότι θα απόρησε, πώς μου ήρθε να βάλω κάτι τόσο φανερό! Στην πραγματικότητα εκείνη η άσκηση μπήκε για να προετοιμάσει το έδαφος σε αυτό εδώ το θέμα.
Πράγματι, στην παραπομπή αποδείχτηκε ότι για κάθε σημείο του έγκυκλου είναι ( μέσο του ) Άρα:
, που λύνει κατασκευαστικά το πρόβλημα και απλουστεύει τον υπολογισμό.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Ελάχιστο αθροίσματος
Καλημέρα σε όλους ! Μια αναφορά στο μέγιστο του εν λόγω αθροίσματος.
Πράγματι με χρήση της νεύσης η μέγιστη τιμή δείχνει να είναι περίπου και τότε η , που αναφέρει ο Γιώργος πριν
είναι γύρω στις ..το μόνο που κατάφερα να ''δείξω'' με χρήση της τεχνολογίας είναι ότι η γωνία αυτή ΔΕΝ είναι ακριβώς ..
αν ήταν -έχω την πεποίθηση ότι - κάποιος δεινός <<Γεωμετράνθρωπος>>, ας πούμε ο G.V.. ..θα το είχε αποδείξει ! Ακολουθώντας την μέθοδο του αγαπητού Γιώργου Ρίζου εκφράζω το εν λόγω άθροισμα ως συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής.
Έστω ακτίνα τότε είναι . Ακόμη είναι και θέτω οπότε .
Από τον Ν.Σ στα τρίγωνα προκύπτουν άρα
.
Η.. τεχνολογία μας δίνει το για να έχουμε μέγιστο , το μετατρέπουμε από ακτίνια σε μοίρες και παίρνουμε . Στη συνέχεια εντοπίζουμε το και μετράει για χάρη μας
Συμφωνώ - ατυχώς εκ των υστέρων- ότι το θέμα αυτό Γιώργο είχε την ..υποστήριξή του , με θέμα προπομπό από τον θεματοθέτη του !
Ας μου επιτραπεί να δώσω ένα ακόμη παράδειγμα : Το θέμα εδώ αλλά και τούτο τέθηκαν με την προσδοκία του υποβάλλοντος
ώστε το θέμα αυτό να βρεί τον δρόμο του..
Φιλικά Γιώργος
Πράγματι με χρήση της νεύσης η μέγιστη τιμή δείχνει να είναι περίπου και τότε η , που αναφέρει ο Γιώργος πριν
είναι γύρω στις ..το μόνο που κατάφερα να ''δείξω'' με χρήση της τεχνολογίας είναι ότι η γωνία αυτή ΔΕΝ είναι ακριβώς ..
αν ήταν -έχω την πεποίθηση ότι - κάποιος δεινός <<Γεωμετράνθρωπος>>, ας πούμε ο G.V.. ..θα το είχε αποδείξει ! Ακολουθώντας την μέθοδο του αγαπητού Γιώργου Ρίζου εκφράζω το εν λόγω άθροισμα ως συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής.
Έστω ακτίνα τότε είναι . Ακόμη είναι και θέτω οπότε .
Από τον Ν.Σ στα τρίγωνα προκύπτουν άρα
.
Η.. τεχνολογία μας δίνει το για να έχουμε μέγιστο , το μετατρέπουμε από ακτίνια σε μοίρες και παίρνουμε . Στη συνέχεια εντοπίζουμε το και μετράει για χάρη μας
Συμφωνώ - ατυχώς εκ των υστέρων- ότι το θέμα αυτό Γιώργο είχε την ..υποστήριξή του , με θέμα προπομπό από τον θεματοθέτη του !
Ας μου επιτραπεί να δώσω ένα ακόμη παράδειγμα : Το θέμα εδώ αλλά και τούτο τέθηκαν με την προσδοκία του υποβάλλοντος
ώστε το θέμα αυτό να βρεί τον δρόμο του..
Φιλικά Γιώργος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες