Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

[Ορέστης Λιγνός]

Σε τρίγωνο , με , ο εγγεγραμμένος κύκλος τέμνει τις πλευρές στα αντίστοιχα.

Η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο . Η τέμνει την κάθετη από το στην στο .

Η τέμνει την στο , και την στο .

Να δείξετε ότι το είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος .

MESO.png (19.68 KiB) Προβλήθηκε 1330 φορές

[george visvikis]

Σε τρίγωνο , με , ο εγγεγραμμένος κύκλος τέμνει τις πλευρές στα αντίστοιχα.

Η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο . Η τέμνει την κάθετη από το στην στο .

Η τέμνει την στο , και την στο .

Να δείξετε ότι το είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος .


MESO.png

Γεια σου Ορέστη!

Μέσο τμήματος.png (26.12 KiB) Προβλήθηκε 1312 φορές

Το κλειδί είναι να δειχθεί ότι το αντιδιαμετρικό του είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Η λύση αργότερα αν δεν απαντηθεί.

edit: Άρση απόκρυψης. Από λάθος εκτίμηση, μου φάνηκε απλό να δειχθεί ότι είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Λόγω ανειλημμένων υποχρεώσεων δεν πρόλαβα να το επανεξετάσω. Αν έχω κάτι θα επανέλθω.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Μέσο Ευθυγράμμου τμήματος.png (35.4 KiB) Προβλήθηκε 1229 φορές

Έστω πως η και η τέμνουν την στο και στο αντίστοιχα. Ακόμα έστω το σημείο τομής της με την .

Το ανήκει προφανώς στην πολική του , άρα και το A ανήκει στην πολική του . Ταυτόχρονα όμως ανήκει και το στην πολική του , άρα η πολική του είναι η .

Άρα οι εφαπτομένες από το στον εγγεγραμμένο κύκλο του είναι οι και , καθώς το είναι το σημείο τομής της με τον εγγεγραμμένο κύκλο του . Επομένως .

Με άλλα λόγια στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε πως , άρα η είναι διάμεσος του , δηλαδή .

Από το αρμονικό τετράπλευρο , έχουμε πως . Άρα η δέσμη είναι αρμονική.

Όμως οι "κόβουν" από την ίσα τμήματα (). Από γνωστό λήμμα λοιπόν έχουμε πως .

Από το αρμονικό τετράπλευρο , έχουμε ακόμα πως . Άρα η δέσμη είναι αρμονική.

Όμως έχουμε πως , άρα οι "κόβουν" από την ίσα τμήματα. Έχουμε δηλαδή πως .

Edit: Προστέθηκε το σχήμα.

[Doloros]

Συνοπτικά για την ώρα με βάση το πιο κάτω σχήμα :

Μέσο τμήματος.png (54.22 KiB) Προβλήθηκε 1257 φορές

Οι δέσμες είναι αρμονικές.

( Για την πρώτη όθεν και για τη δεύτερη εδώ)

Η είναι συμμετροδιάμεσος στο και το εγγράψιμο , με συνέπεια

. Αλλά η δέσμη

δηλαδή η δέσμη είναι αρμονική , οπότε .

Προφανώς η παραλληλία των και οδηγεί και σε άλλες διαφορετικές λύσεις.

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Σε τρίγωνο , με , ο εγγεγραμμένος κύκλος τέμνει τις πλευρές στα αντίστοιχα.Η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο . Η τέμνει την κάθετη από το στην στο .Η τέμνει την στο , και την στο .Να δείξετε ότι το είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος .

Γεια σου Ορέστη!Μέσο τμήματος.png
Το κλειδί είναι να δειχθεί ότι το αντιδιαμετρικό του είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Η λύση αργότερα αν δεν απαντηθεί.
edit: Άρση απόκρυψης. Από λάθος εκτίμηση, μου φάνηκε απλό να δειχθεί ότι είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Λόγω ανειλημμένων υποχρεώσεων δεν πρόλαβα να το επανεξετάσω. Αν έχω κάτι θα επανέλθω.

Για να μην μείνει σε εκκρεμότητα η όμορφη σκέψη του Γιώργου για το ορθόκεντρο ...

Έστω . Τότε με διάμετρος του .

Από το εγγεγραμμένο στον μη κυρτό εκφυλισμένο εξάγωνο προκύπτει σύμφωνα με το Θεώρημα του Pascal ότι τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών του είναι συνευθειακά, δηλαδή τα είναι συνευθειακά και συνεπώς το (όπως ορίστηκε) ταυτίζεται με το σημείο τομής της με την
[attachment=0]Μέσο τμήματος.png[/attachment]
Αν στο μη κυρτό εκφυλισμένο εξάγωνο επειδή τα σημεία είναι συνευθειακά σύμφωνα με το αντίστροφο του Θεωρήματος του Pascal το εν λόγω το εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κωνική τομή και με σημεία του με εφαπτομενικό του τμήμα προκύπτει ότι και πράγματι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Εναλλακτικά (επίσης από το Θεώρημα του Pascal… )προκύπτει ότι η διέρχεται από το και συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου (αφού ) με κέντρο το μέσο της που είναι προφανώς το αφού (εφαπτομενικά τμήματα στον )