Μέσο ευθυγράμμου τμήματος
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Μέσο ευθυγράμμου τμήματος
Σε τρίγωνο , με , ο εγγεγραμμένος κύκλος τέμνει τις πλευρές στα αντίστοιχα.
Η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο . Η τέμνει την κάθετη από το στην στο .
Η τέμνει την στο , και την στο .
Να δείξετε ότι το είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος .
Η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο . Η τέμνει την κάθετη από το στην στο .
Η τέμνει την στο , και την στο .
Να δείξετε ότι το είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μέσο ευθυγράμμου τμήματος
Γεια σου Ορέστη! Το κλειδί είναι να δειχθεί ότι το αντιδιαμετρικό του είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .Ορέστης Λιγνός έγραψε:Σε τρίγωνο , με , ο εγγεγραμμένος κύκλος τέμνει τις πλευρές στα αντίστοιχα.
Η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο . Η τέμνει την κάθετη από το στην στο .
Η τέμνει την στο , και την στο .
Να δείξετε ότι το είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος .
MESO.png
Η λύση αργότερα αν δεν απαντηθεί.
edit: Άρση απόκρυψης. Από λάθος εκτίμηση, μου φάνηκε απλό να δειχθεί ότι είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Λόγω ανειλημμένων υποχρεώσεων δεν πρόλαβα να το επανεξετάσω. Αν έχω κάτι θα επανέλθω.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Μάιος 19, 2017 2:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Μέσο ευθυγράμμου τμήματος
Το ανήκει προφανώς στην πολική του , άρα και το A ανήκει στην πολική του . Ταυτόχρονα όμως ανήκει και το στην πολική του , άρα η πολική του είναι η .
Άρα οι εφαπτομένες από το στον εγγεγραμμένο κύκλο του είναι οι και , καθώς το είναι το σημείο τομής της με τον εγγεγραμμένο κύκλο του . Επομένως .
Με άλλα λόγια στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε πως , άρα η είναι διάμεσος του , δηλαδή .
Από το αρμονικό τετράπλευρο , έχουμε πως . Άρα η δέσμη είναι αρμονική.
Όμως οι "κόβουν" από την ίσα τμήματα (). Από γνωστό λήμμα λοιπόν έχουμε πως .
Από το αρμονικό τετράπλευρο , έχουμε ακόμα πως . Άρα η δέσμη είναι αρμονική.
Όμως έχουμε πως , άρα οι "κόβουν" από την ίσα τμήματα. Έχουμε δηλαδή πως .
Edit: Προστέθηκε το σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Πέμ Μάιος 18, 2017 5:34 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
Re: Μέσο ευθυγράμμου τμήματος
Συνοπτικά για την ώρα με βάση το πιο κάτω σχήμα :
Οι δέσμες είναι αρμονικές.
( Για την πρώτη όθεν και για τη δεύτερη εδώ)
Η είναι συμμετροδιάμεσος στο και το εγγράψιμο , με συνέπεια
. Αλλά η δέσμη
δηλαδή η δέσμη είναι αρμονική , οπότε .
Προφανώς η παραλληλία των και οδηγεί και σε άλλες διαφορετικές λύσεις.
Οι δέσμες είναι αρμονικές.
( Για την πρώτη όθεν και για τη δεύτερη εδώ)
Η είναι συμμετροδιάμεσος στο και το εγγράψιμο , με συνέπεια
. Αλλά η δέσμη
δηλαδή η δέσμη είναι αρμονική , οπότε .
Προφανώς η παραλληλία των και οδηγεί και σε άλλες διαφορετικές λύσεις.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Μέσο ευθυγράμμου τμήματος
Για να μην μείνει σε εκκρεμότητα η όμορφη σκέψη του Γιώργου για το ορθόκεντρο ...george visvikis έγραψε:Γεια σου Ορέστη!Μέσο τμήματος.pngΟρέστης Λιγνός έγραψε:Σε τρίγωνο , με , ο εγγεγραμμένος κύκλος τέμνει τις πλευρές στα αντίστοιχα.Η τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο . Η τέμνει την κάθετη από το στην στο .Η τέμνει την στο , και την στο .Να δείξετε ότι το είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος .
Το κλειδί είναι να δειχθεί ότι το αντιδιαμετρικό του είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Η λύση αργότερα αν δεν απαντηθεί.
edit: Άρση απόκρυψης. Από λάθος εκτίμηση, μου φάνηκε απλό να δειχθεί ότι είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Λόγω ανειλημμένων υποχρεώσεων δεν πρόλαβα να το επανεξετάσω. Αν έχω κάτι θα επανέλθω.
Έστω . Τότε με διάμετρος του .
Από το εγγεγραμμένο στον μη κυρτό εκφυλισμένο εξάγωνο προκύπτει σύμφωνα με το Θεώρημα του Pascal ότι τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών του είναι συνευθειακά, δηλαδή τα είναι συνευθειακά και συνεπώς το (όπως ορίστηκε) ταυτίζεται με το σημείο τομής της με την
[attachment=0]Μέσο τμήματος.png[/attachment]
Αν στο μη κυρτό εκφυλισμένο εξάγωνο επειδή τα σημεία είναι συνευθειακά σύμφωνα με το αντίστροφο του Θεωρήματος του Pascal το εν λόγω το εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κωνική τομή και με σημεία του με εφαπτομενικό του τμήμα προκύπτει ότι και πράγματι το ορθόκεντρο του τριγώνου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Υ.Σ. Εναλλακτικά (επίσης από το Θεώρημα του Pascal… )προκύπτει ότι η διέρχεται από το και συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου (αφού ) με κέντρο το μέσο της που είναι προφανώς το αφού (εφαπτομενικά τμήματα στον )
- Συνημμένα
-
- Μέσο τμήματος.png (33.71 KiB) Προβλήθηκε 1182 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες