Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας.

: 18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG (5.01 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Το τρίγωνο του σχήματος έχει $AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5$ . Να βρεθεί η γωνία $\widehat{A}$

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλησπέρα Γιώργο.

Τριγωνομετρικά: Πρέπει $a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat{A} \mathop \Rightarrow\limits^{AB=\sqrt{45}, AC=\sqrt{40}, BC=5} \cos \widehat{A}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{A}=45^\circ$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Το τρίγωνο του σχήματος έχει $AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5$ . Να βρεθεί η γωνία $\widehat{A}$

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Γεια σας κύριε Γιώργο!

Από νόμο συνημιτόνων, έχω:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2 \cdot AB \cdot AC cos A$

Τα υπόλοιπα τα πρόλαβε ο εκπληκτικός Ορέστης!

Ορέστης Λιγνός · #4

Από τον Ήρωνα, (ABC)=15

.

Φέρνουμε το ύψος

.

Είναι $15=(ABC)=\dfrac{BE \cdot AC}{2}=\dfrac{BE \cdot \sqrt{40}}{2}=BE \sqrt{10} \Rightarrow BE=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$ (1).

Με Π.Θ. στο $\vartriangle ABE$ , έχουμε από την (1)

$\displaystyle BE=AE=\dfrac{3\sqrt{10}}{2} \Rightarrow BAE \, \textnormal{\gr ορθογώνιο και ισοσκελές}$ , οπότε $\widehat{A}=45^\circ$ .

Ιστοσελίδα · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.

Το τρίγωνο του σχήματος έχει $AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5$ . Να βρεθεί η γωνία $\widehat{A}$

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .

Καλησπέρα!

: Οι-δρόμοι-οδηγούν-στην-γωνία-Α.png (14.81 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

$R = \dfrac{{abc}}{{4(ABC)}}\mathop = \limits^{(ABC) = 15} \dfrac{{\sqrt {50} }}{2}$ , από αντίστροφο Πυθαγορείου $B\widehat OC = {90^ \circ }$ , οπότε $\widehat A = \dfrac{{{{90}^ \circ }}}{2} = {45^ \circ }$

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.
18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG

Το τρίγωνο του σχήματος έχει $AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5$ . Να βρεθεί η γωνία $\widehat{A}$

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς

. Από το πρώτο Θ. διαμέσων στο

τρίγωνο ASC

, έχω :

: Δρόμος_2 για γωνία_A.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές

$A{S^2} + A{C^2} = 2A{B^2} + \frac{{S{C^2}}}{2} \Rightarrow A{S^2} + 40 = 2 \cdot 45 + 50 \Rightarrow A{S^2} = 100 \Rightarrow \boxed{AS = 10}$

Δηλαδή το $\vartriangle SAC$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

συνεπώς η διάμεσός του

είναι μεσοκάθετος στο

. Αν

το σημείο τομής των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM$ το

είναι

βαρύκεντρο του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle SAC$ οπότε

$AG = \dfrac{2}{3}AB = 2\sqrt 5 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,GC = AG = 2\sqrt 5$ . Επειδή τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο

$\vartriangle GAC$ ισχύει $G{A^2} + G{C^2} = 20 + 20 = 40 = A{C^2}$ αυτό είναι και ορθογώνιο , οπότε

$\boxed{A = 45^\circ }$

Μια άλλη παρεμφερής λύση είναι στο αρχικό τρίγωνο να υπολογίσετε την διάμεσο

( =

) κ.λ.π.

nikkru · #7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.
18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG

Το τρίγωνο του σχήματος έχει $AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5$ . Να βρεθεί η γωνία $\widehat{A}$

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .

Μετά τις συντομότατες αποδείξεις που προαναφέρθηκαν ας δούμε μια μακροσκελέστερη.
Στην προέκταση της

παίρνουμε σημεία K,N

ώστε to

μέσο του

και το

μέσο του

.

: Οι δρόμοι οδηγούν.png (8.75 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές

Από Θ. διαμέσων στα τρίγωνα ACK,ACN

προκύπτουν $AK=10,AN=3\sqrt{40}$ .

Τότε, η διάμεσος

ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, άρα $N\widehat{A}C=90^{o}$ .

Ακόμη, $\frac{BN}{BC}=3=\frac{AN}{AC}$ , δηλαδή η

διχοτόμος της $N\widehat{A}C$ , οπότε $B\widehat{A}C=45^{o}$ .

#8

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.
18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG

Το τρίγωνο του σχήματος έχει $AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5$ . Να βρεθεί η γωνία $\widehat{A}$

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .

Χαιρετώ τους φίλους!

Φέρνω το ύψος

και έστω

Από κριτήριο καθετότητας:

: Γωνία Α.png (7.58 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

$\displaystyle{{x^2} - {(\sqrt {45} - x)^2} = {(\sqrt {40} )^2} - 25 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow CD = AD \Leftrightarrow }$ $\boxed{\widehat A=45^0}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.
18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG

Το τρίγωνο του σχήματος έχει $AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5$ . Να βρεθεί η γωνία $\widehat{A}$

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .

Με δεύτερο θ.διαμέσου , $\displaystyle{{c^2} - {a^2} = 2b \cdot MD \Rightarrow 20 = 4\sqrt {10} \cdot MD \Rightarrow MD = \frac{{\sqrt {10} }}{2} = DC}$

Με Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle BDC \Rightarrow BD = \frac{{3\sqrt {10} }}{2} = AD \Rightarrow \boxed{\angle A = {{45}^0}}}$

: γωνία.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #10

Καλημέρα σε όλους !
Ορέστη , Νικόλα , Μιχάλη , Νίκο , nikkru , Γιώργο και Μιχάλη σας ευχαριστώ θερμά για την ανταπόκριση !
Ας δούμε μια ακόμη προσέγγιση , με χρήση και του σχήματος :

: 22-5-17 Δρόμοι για την Α.PNG (6.94 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές

Φέρω το ύψος

. Με το Π.Θ παίρνουμε $x^{2}+y^{2}=45$ και $\left ( 5-x \right )^{2}+y^{2}=40$ .
Η λύση του συστήματος μας δίνει AH=y=6 ..BH=x=3

άρα και

.

Το

είναι τετράγωνο με πλευρά

. Από τα όμοια τρίγωνα KAZ, HAC

:

$\dfrac{KZ}{HC}=\dfrac{AK}{AH}\Rightarrow KZ=3$ οπότε IZ=6=AH

.

Σύμφωνα λοιπόν με το κριτήριο 45άρας προκύπτει $\widehat{A}=45^{0}$ .

Παραλλαγή : Με $AH=6 \Rightarrow \left ( BAC \right )=5\cdot 6/2=15$
και όπως πριν ο Ορέστης , φέρουμε το ύψος

... άρα τελικά $\widehat{A}=45^{0}$ .

Φιλικά , Γιώργος .

Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μέλη σε σύνδεση