Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 611
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Μάιος 18, 2017 2:35 pm

Γεια σας.
18-5-17  Σχημα.. ελλιπές.PNG
18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG (5.01 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές


Το τρίγωνο του σχήματος έχει AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5. Να βρεθεί η γωνία \widehat{A}

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1043
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Μάιος 18, 2017 2:45 pm

Καλησπέρα Γιώργο.

Τριγωνομετρικά: Πρέπει a^2=b^2+c^2-2bc \cos \widehat{A} \mathop \Rightarrow\limits^{AB=\sqrt{45}, AC=\sqrt{40}, BC=5} \cos \widehat{A}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{A}=45^\circ
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Πέμ Μάιος 18, 2017 3:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Πέμ Μάιος 18, 2017 2:52 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Το τρίγωνο του σχήματος έχει AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5. Να βρεθεί η γωνία \widehat{A}

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..


Γεια σας κύριε Γιώργο!

Από νόμο συνημιτόνων, έχω:

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2 \cdot AB \cdot AC cos A

Τα υπόλοιπα τα πρόλαβε ο εκπληκτικός Ορέστης!


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1043
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Μάιος 18, 2017 2:54 pm

Από τον Ήρωνα, (ABC)=15.

Φέρνουμε το ύψος BE.

Είναι 15=(ABC)=\dfrac{BE \cdot AC}{2}=\dfrac{BE \cdot \sqrt{40}}{2}=BE \sqrt{10} \Rightarrow BE=\dfrac{3\sqrt{10}}{2} (1).

Με Π.Θ. στο \vartriangle ABE, έχουμε από την (1)

\displaystyle BE=AE=\dfrac{3\sqrt{10}}{2} \Rightarrow BAE \, \textnormal{\gr ορθογώνιο και ισοσκελές}, οπότε \widehat{A}=45^\circ.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2952
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Μάιος 18, 2017 7:20 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.


Το τρίγωνο του σχήματος έχει AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5. Να βρεθεί η γωνία \widehat{A}

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .

Καλησπέρα!
Οι-δρόμοι-οδηγούν-στην-γωνία-Α.png
Οι-δρόμοι-οδηγούν-στην-γωνία-Α.png (14.81 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές
R = \dfrac{{abc}}{{4(ABC)}}\mathop  = \limits^{(ABC) = 15} \dfrac{{\sqrt {50} }}{2}, από αντίστροφο Πυθαγορείου B\widehat OC = {90^ \circ }, οπότε \widehat A = \dfrac{{{{90}^ \circ }}}{2} = {45^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4974
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Doloros » Παρ Μάιος 19, 2017 12:21 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.
18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG

Το τρίγωνο του σχήματος έχει AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5. Να βρεθεί η γωνία \widehat{A}

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .


Ας είναι S το συμμετρικό του C ως προς B. Από το πρώτο Θ. διαμέσων στο

τρίγωνο ASC , έχω :


Δρόμος_2 για γωνία_A.png
Δρόμος_2 για γωνία_A.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές


A{S^2} + A{C^2} = 2A{B^2} + \frac{{S{C^2}}}{2} \Rightarrow A{S^2} + 40 = 2 \cdot 45 + 50 \Rightarrow A{S^2} = 100 \Rightarrow \boxed{AS = 10}

Δηλαδή το \vartriangle SAC είναι ισοσκελές με κορυφή το S συνεπώς η διάμεσός του SM

είναι μεσοκάθετος στο AC. Αν G το σημείο τομής των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM το G είναι

βαρύκεντρο του ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle SAC οπότε

AG = \dfrac{2}{3}AB = 2\sqrt 5 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,GC = AG = 2\sqrt 5 . Επειδή τώρα στο ισοσκελές τρίγωνο

\vartriangle GAC ισχύει G{A^2} + G{C^2} = 20 + 20 = 40 = A{C^2} αυτό είναι και ορθογώνιο , οπότε

\boxed{A = 45^\circ }


Μια άλλη παρεμφερής λύση είναι στο αρχικό τρίγωνο να υπολογίσετε την διάμεσο BM( =5) κ.λ.π.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 209
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από nikkru » Παρ Μάιος 19, 2017 12:37 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.
18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG

Το τρίγωνο του σχήματος έχει AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5. Να βρεθεί η γωνία \widehat{A}

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .


Μετά τις συντομότατες αποδείξεις που προαναφέρθηκαν ας δούμε μια μακροσκελέστερη.
Στην προέκταση της CB παίρνουμε σημεία K,N ώστε to B μέσο του KC και το K μέσο του CN.
Οι δρόμοι οδηγούν.png
Οι δρόμοι οδηγούν.png (8.75 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές

Από Θ. διαμέσων στα τρίγωνα ACK,ACN προκύπτουν AK=10,AN=3\sqrt{40}.

Τότε, η διάμεσος AK ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, άρα N\widehat{A}C=90^{o}.

Ακόμη, \frac{BN}{BC}=3=\frac{AN}{AC}, δηλαδή η AB διχοτόμος της N\widehat{A}C , οπότε B\widehat{A}C=45^{o}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5547
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από george visvikis » Σάβ Μάιος 20, 2017 9:36 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.
18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG

Το τρίγωνο του σχήματος έχει AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5. Να βρεθεί η γωνία \widehat{A}

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .


Χαιρετώ τους φίλους!

Φέρνω το ύψος CD και έστω AD=x. Από κριτήριο καθετότητας:
Γωνία Α.png
Γωνία Α.png (7.58 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές

\displaystyle{{x^2} - {(\sqrt {45}  - x)^2} = {(\sqrt {40} )^2} - 25 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow CD = AD \Leftrightarrow } \boxed{\widehat A=45^0}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1123
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μάιος 20, 2017 8:02 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας.
18-5-17 Σχημα.. ελλιπές.PNG

Το τρίγωνο του σχήματος έχει AB=\sqrt{45}..AC=\sqrt{40}..BC=5. Να βρεθεί η γωνία \widehat{A}

Το θέμα αναμένει διάφορες διαδρομές- λύσεις , για παράδειγμα με συμπλήρωση σχήματος..

Παράκληση : Παραπομπές σε παρόμοια θέματα ας .. καθυστερήσουν για εύλογο χρονικό διάστημα

ώστε να δοθεί η ευκαιρία και για νέες προσεγγίσεις-ιδέες !

Ευχαριστώ Γιώργος .


Με δεύτερο θ.διαμέσου , \displaystyle{{c^2} - {a^2} = 2b \cdot MD \Rightarrow 20 = 4\sqrt {10}  \cdot MD \Rightarrow MD = \frac{{\sqrt {10} }}{2} = DC}

Με Π.Θ στο \displaystyle{\vartriangle BDC \Rightarrow BD = \frac{{3\sqrt {10} }}{2} = AD \Rightarrow \boxed{\angle A = {{45}^0}}}

γωνία.png
γωνία.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 611
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Οι δρόμοι οδηγούν στην γωνία Α

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μάιος 22, 2017 1:00 am

Καλημέρα σε όλους !
Ορέστη , Νικόλα , Μιχάλη , Νίκο , nikkru , Γιώργο και Μιχάλη σας ευχαριστώ θερμά για την ανταπόκριση !
Ας δούμε μια ακόμη προσέγγιση , με χρήση και του σχήματος :
22-5-17 Δρόμοι για την Α.PNG
22-5-17 Δρόμοι για την Α.PNG (6.94 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές


Φέρω το ύψος AH. Με το Π.Θ παίρνουμε x^{2}+y^{2}=45 και \left ( 5-x \right )^{2}+y^{2}=40 .
Η λύση του συστήματος μας δίνει AH=y=6 ..BH=x=3 άρα και HC=2.

Το BIKH είναι τετράγωνο με πλευρά 3 . Από τα όμοια τρίγωνα KAZ, HAC:

\dfrac{KZ}{HC}=\dfrac{AK}{AH}\Rightarrow KZ=3 οπότε IZ=6=AH.

Σύμφωνα λοιπόν με το κριτήριο 45άρας προκύπτει \widehat{A}=45^{0}.

Παραλλαγή : Με AH=6 \Rightarrow \left ( BAC \right )=5\cdot 6/2=15
και όπως πριν ο Ορέστης , φέρουμε το ύψος BE ... άρα τελικά \widehat{A}=45^{0}.

Φιλικά , Γιώργος .



Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης