Εμβαδόν τριγώνου 3

Ιστοσελίδα · #1

: area.png (8.68 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το (ACD) = 2(ABD)

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε:area.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το

Καλημέρα Μιχάλη!

: Εμβαδόν 3.png (7.8 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Έστω

Τότε λόγω του διπλάσιου εμβαδού θα είναι DC=2x

και

$\displaystyle{5\sin \varphi = 4\sin \omega \Rightarrow 25(1 - {\cos ^2}\varphi ) = 16(1 - co{s^2}\omega ) \Leftrightarrow }$ $\boxed{{\cos ^2}\varphi = \frac{{9 + 16{{\cos }^2}\omega }}{2}}$ (1)

Νόμος συνημιτόνων στα τρίγωνα ABD, ACD:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 20 - 16\cos \omega \\ 4{x^2} = 104 - 40\cos \varphi \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \left\{ \begin{array}{l} 4{x^2} = 80 - 64\cos \omega \\ 4{x^2} = 104 - 8\sqrt {9 + 16{{\cos }^2}\omega } \end{array} \right. \Rightarrow \cos \omega (\cos \omega + 1) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\omega < {{180}^0}} }$ $\boxed{\omega=90^0}$

Άρα, $\displaystyle{(ABD) = 4 \Leftrightarrow }$ $\boxed{(ACD)=8}$

#3

και μία Γεωμετρική...
Με θεώρημα Stewart:

$\displaystyle{32x + 100x = 12x + 6{x^3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=2\sqrt 5}$ και στη συνέχεια με τον τύπο του Ήρωνα, $\boxed{(ACD)=8}$

#4

: Εμβαδόν τριγώνου_3_Νάννος.png (17.17 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

Αν φέρω την παράλληλη από το

στη

και κόψει την ευθεία

στο

θα

Είναι: $SD = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = 8$ δηλαδή $\vartriangle SAC \to (6,10,8)$ άρα $\widehat S = \widehat {BAD} = 90^\circ$ .

Προφανώς : $(ABD) = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ADC) = 8$

edit: το 4 έγινε επί το ορθόν που φαίνεται στο σχήμα 6

#5

Doloros έγραψε:Εμβαδόν τριγώνου_3_Νάννος.png

Αν φέρω την παράλληλη από το στη και κόψει την ευθεία στο θα

Είναι: $SD = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = 8$ δηλαδή $\vartriangle SAC \to (4,10,8)$ άρα $\widehat S = \widehat {BAD} = 90^\circ$ .

Προφανώς : $(ABD) = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ADC) = 8$

Ωραίο Νίκο

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Μιχάλης Νάννος έγραψε:area.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το

Άλλη μια..

Με $\displaystyle{BD = x}$ κι επειδή $\displaystyle{\left( {ADC} \right) = 2\left( {ABD} \right) \Rightarrow DC = 2x}$

Αν $\displaystyle{M}$ μέσον της $\displaystyle{DC}$ και $\displaystyle{AM = y}$ , με θ.διαμέσου στα $\displaystyle{\vartriangle ABM,ADC \Rightarrow 16 + {y^2} = 8 + 2{x^2}}$ και $\displaystyle{104 = 2{y^2} + 2{x^2}}$

απ όπου εύκολα παίρνουμε $\displaystyle{{x^2} = 20}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle BAD}$ είναι $\displaystyle{B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} \Rightarrow \angle BAD = {90^0} \Rightarrow \left( {ABD} \right) = 4 \Rightarrow \boxed{\left( {ADC} \right) = 8}}$

: E.T3.png (7.11 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

#7

Doloros έγραψε:Εμβαδόν τριγώνου_3_Νάννος.png

Αν φέρω την παράλληλη από το στη και κόψει την ευθεία στο θα

Είναι: $SD = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = 8$ δηλαδή $\vartriangle SAC \to (6,10,8)$ άρα $\widehat S = \widehat {BAD} = 90^\circ$ .

Προφανώς : $(ABD) = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ADC) = 8$

edit: το 4 έγινε επί το ορθόν που φαίνεται στο σχήμα 6

Για την πιο πάνω διόρθωση, χρωστώ: χάρη στον Χάρη!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Μιχάλης Νάννος έγραψε:area.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το

Άλλη μια..

Ο ν.συνημιτόνου στα $\displaystyle{\vartriangle ABD,ADC}$ δίνει $\displaystyle{\boxed{12 = {x^2} - 4x\cos \omega },96 = 4{x^2} - 8x\cos \varphi \Rightarrow \boxed{96 = 4{x^2} + 8x\cos \omega }}$

Με απαλοιφή του $\displaystyle{{\cos \omega }}$ παίρνουμε $\displaystyle{{x^2} = 20 \Rightarrow BA \bot AD \Rightarrow \left( {ABD} \right) = 4 \Rightarrow \boxed{\left( {ADC} \right) = 8}}$

: E.T.3.png (7.37 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Εμβαδόν τριγώνου 3

Εμβαδόν τριγώνου 3

Re: Εμβαδόν τριγώνου 3

Re: Εμβαδόν τριγώνου 3

Re: Εμβαδόν τριγώνου 3

Re: Εμβαδόν τριγώνου 3

Re: Εμβαδόν τριγώνου 3

Re: Εμβαδόν τριγώνου 3

Re: Εμβαδόν τριγώνου 3

Μέλη σε σύνδεση