Ισοσκελές 1 + 1

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Ισοσκελές 1 + 1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Μιχάλης Νάννος » Δευ Ιουν 19, 2017 10:09 pm

isoskeles1plus1.png
isoskeles1plus1.png (19.35 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB = AC = 10. Στην προέκταση της βάσης BC παίρνουμε σημείο D και φέρνουμε 10 = DE \bot AB,\,2 = DZ \bot AC

Να βρείτε το μήκος της BC και να δείξετε ότι το τρίγωνο ABD είναι ισοσκελές.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1005
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ισοσκελές 1 + 1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ορέστης Λιγνός » Δευ Ιουν 19, 2017 11:33 pm

Γεια σου Μιχάλη.

Είναι \sin \widehat{C}=\sin \widehat{DCZ}=\dfrac{DZ}{DC}=\dfrac{2}{DC}, οπότε \sin \widehat{C}=\dfrac{2}{DC} (1).

Επίσης, \sin \widehat{B}=\sin \widehat{EBD}=\dfrac{ED}{BD}=\dfrac{10}{BD}, οπότε \sin \widehat{B}=\dfrac{10}{BD} (2).

Από (1), (2) και ότι \widehat{B}=\widehat{C} \Rightarrow \sin \widehat{B}=\sin \widehat{C} παίρνουμε \dfrac{2}{DC}=\dfrac{10}{BD}, οπότε BD=5CD.

Συνεπώς, με CD=x, είναι και BC=4x.

Φέρνουμε το ύψος AK του \vartriangle ABC.

Είναι \dfrac{AK \cdot CD}{2}=(ACD)=\dfrac{AC \cdot DZ}{2} \Rightarrow \dfrac{AK \cdot x}{2}=\dfrac{10 \cdot 2}{2} \Rightarrow AK=\dfrac{20}{x}.

Είναι KC=\dfrac{BC}{2}=2x, οπότε με Π.Θ. στο \vartriangle KAC παίρνουμε 10^2=AC^2=AK^2+KC^2=(\dfrac{20}{x})^2+(2x)^2 \Rightarrow \ldots \Rightarrow x^4-25x^2+100=0, οπότε x=\sqrt{5} ή x=2\sqrt{5}.

Αν x=2\sqrt{5}, τότε BD=5x=10\sqrt{5}, και με Π.Θ. στο \vartriangle BDE παίρνουμε BE=20, άτοπο, αφού 20=BE<BA=10.

Άρα, x=\sqrt{5}, και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με πριν παίρνουμε BE=5=\dfrac{AB}{2}, οπότε BE=EA \mathop \Rightarrow \limits^{DE \perp AB} \vartriangle ABD ισοσκελές.

Ακόμη, BC=4x=4\sqrt{5} \Rightarrow \boxed{BC=4\sqrt{5}}.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4862
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελές 1 + 1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Doloros » Τρί Ιουν 20, 2017 6:12 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:isoskeles1plus1.pngΔίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB = AC = 10. Στην προέκταση της βάσης BC παίρνουμε σημείο D και φέρνουμε 10 = DE \bot AB,\,2 = DZ \bot AC

Να βρείτε το μήκος της BC και να δείξετε ότι το τρίγωνο ABD είναι ισοσκελές.



Ας είναι M το μέσο του BC . Προφανώς τα σημεία A,E,M,Z,D είναι ομοκυκλικά

σε κύκλο κέντρου K και διαμέτρου AD. Θέτω \boxed{CD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CZ = y}.

Επειδή η AM είναι και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής A του ισοσκελούς . θα

είναι και η DB διχοτόμος της \widehat {EDZ}. Από την ομοιότητα : \vartriangle ZDC \approx \vartriangle EDB έχω :

\dfrac{2}{{10}} = \dfrac{x}{{a + x}} \Rightarrow \dfrac{1}{4} = \dfrac{x}{a} \Rightarrow a = 4x \Rightarrow BM = MC = 2x. Ενώ από τη δύναμη του C ως

προς τον κύκλο έχω : 2{x^2} = 10y \Rightarrow \boxed{{x^2} = 5y}\,\,(1) . Από το Π. Θ. στο τρίγωνο ZAD

ισχύει: \boxed{4{R^2} = {{(10 + y)}^2} + 4}\,\,(2).


ισοσκελές και ενα κι ένα.png
ισοσκελές και ενα κι ένα.png (25.58 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές


Επίσης από Π. Θ. στα τρίγωνα MAC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MAD ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered}
  9{x^2} + A{M^2} = 4{R^2} \hfill \\
  4{x^2} + A{M^2} = 100 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{5{x^2} = 4{R^2} - 100}\,\,(3) Από τις (1)\,\,,(2),\,\,(3) έχω

\left\{ \begin{gathered}
  x = \sqrt 5  \hfill \\
  y = 1 \hfill \\
  a = 4\sqrt 5  \hfill \\
  BD = AD = 5\sqrt 5  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right..
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τρί Ιουν 20, 2017 10:41 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισοσκελές 1 + 1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιουν 20, 2017 8:56 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:isoskeles1plus1.pngΔίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB = AC = 10. Στην προέκταση της βάσης BC παίρνουμε σημείο D και φέρνουμε 10 = DE \bot AB,\,2 = DZ \bot ACΝα βρείτε το μήκος της BC και να δείξετε ότι το τρίγωνο ABD είναι ισοσκελές.

Ισοσκελές 1+1.png
Ισοσκελές 1+1.png (14 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

Ισχύει (γνωστή πρόταση που προκύπτει από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων \vartriangle CZD,\vartriangle CFD) CH=DE-DZ=10-2=8:\left( 1 \right) , (όταν το σημείο D είναι εσωτερικό της BC ισχύει CH=DE+DZ), όπου CH το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle ABC.

Από το
Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο

\vartriangle AHC \Rightarrow AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}}  = 6 \Rightarrow BH = 4 \mathop  \Rightarrow \limits^{\Pi .\Theta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle BHC} BC = \sqrt {C{H^2} + B{H^2}}  = \sqrt {64 + 16}  = 4\sqrt 5

και από CH\parallel DE \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{BH}} = \dfrac{{DE}}{{CH}} \mathop  \Rightarrow \limits^{BH = 4,CH = 8,DE = 10} BE = 5\mathop  \Rightarrow \limits^{AB = 10} BE = EA = 5 \Rightarrow DE

μεσοκάθετη της AB\Rightarrow \vartriangle ADB ισοσκελές και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4862
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελές 1 + 1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Doloros » Τρί Ιουν 20, 2017 10:23 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ισχύει (γνωστή πρόταση που προκύπτει από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων \vartriangle CZD,\vartriangle CFD) CH=DE-DZ=10-2=8:\left( 1 \right) , (όταν το σημείο D είναι εσωτερικό της BC ισχύει CH=DE+DZ), όπου CH το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle ABC.


Ωραίο !


Η έξυπνη κίνηση του Στάθη αποδεικνύεται εύκολα και με εμβαδά. Άρα με εμβαδά ίσως έχουμε κι άλλες ωραίες λύσεις!


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4862
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοσκελές 1 + 1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Doloros » Τρί Ιουν 20, 2017 12:54 pm

ισοσκελές και ενα κι ένα_new.png
ισοσκελές και ενα κι ένα_new.png (15.79 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές


Ας είναι T η προβολή του B στην AC. Θέτω CD = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = u.

Είναι \vartriangle BED \approx \vartriangle CZD \Rightarrow \boxed{\frac{x}{{a + x}} = \frac{2}{{10}} \Rightarrow a = 4x} οπότε κι αφού \vartriangle TBC \approx \vartriangle ZDC θα είναι

u = 8 \Rightarrow BT = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TC = 4 . Συνεπώς

a = \sqrt {{8^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 5 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = 5\sqrt 5  \Rightarrow BE = \sqrt {125 - 100}  = 5 . Άρα DB = DA .


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισοσκελές 1 + 1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιουν 23, 2017 7:39 am

Καλημέρα και σας ευχαριστώ για τις όμορφες λύσεις! Παραθέτω και τη δική μου στο σχήμα που ακολουθεί.
isoskeles-sol.png
isoskeles-sol.png (27.19 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες