Λόγος Εμβαδών

Ορέστης Λιγνός · #1

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ABCD

, και $\dfrac{AB}{BC}=\phi$ (όπου $\phi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ , ο λόγος της χρυσής τομής).

Έστω E,Z

τα μέσα των AD,BC

αντίστοιχα.

Στην προέκταση της

θεωρούμε σημείο

ώστε $\dfrac{BC}{HE}=\phi$ , και ονομάζουμε

το σημείο τομής της

με την

.

Να υπολογισθεί ο λόγος $\lambda=\dfrac{(ABCD)}{(KEZ)}$ .

: EMBADA.png (7.26 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #2

Ορέστη Καλημέρα !

: 21-6-17 Λόγος Εμβαδών.PNG (9.25 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Ας είναι

ύψος . Τότε $\lambda =\dfrac{AD\cdot DC}{KP\cdot EZ/2}=\dfrac{2AD}{KP}=4\dfrac{AE}{KP}=4\dfrac{AO}{OK}=4\left ( 1+\dfrac{AK}{OK} \right ) ..\left ( 1 \right )$

Έχουμε $tany=\phi \Rightarrow OK=1/cosy=\sqrt{1+\phi ^{2}}$ και $siny =\phi /\sqrt{1+\phi ^{2}}$ ενώ $cosx=\dfrac{ED}{EH}=\dfrac{\phi }{2}\Rightarrow sinx=\dfrac{\sqrt{3-\phi }}{2}$

Aκόμη $cosx=\dfrac{KP}{KE}\Rightarrow KE = 1/cosx=2/\phi$

Από τον Ν.Ημιτόνων στο AEK

: $\dfrac{AK}{KE}=\dfrac{sinx}{siny}\Rightarrow AK=..=\dfrac{\sqrt{5}}{\phi ^{2}}$

Άρα από $(1) \Rightarrow \lambda = 4(\dfrac{\sqrt{5}}{\phi ^{2}\sqrt{1+\phi ^{2}}}+1)\simeq 5,796111906$ .

Φιλικά Γιώργος.

STOPJOHN · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο , και $\dfrac{AB}{BC}=\phi$ (όπου $\phi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ , ο λόγος της χρυσής τομής).

Έστω τα μέσα των αντίστοιχα.

Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο ώστε $\dfrac{BC}{HE}=\phi$ , και ονομάζουμε το σημείο τομής της με την .

Να υπολογισθεί ο λόγος $\lambda=\dfrac{(ABCD)}{(KEZ)}$ .

EMBADA.png

Καλημέρα Ορέστη και Γιώργο ,

Θέτουμε $\hat{EHD}=\omega =\hat{KEZ},AB=a,BZ=ZC=b$
Aπο την υπόθεση ειναι
$\varphi =\dfrac{BC}{HE}=\dfrac{2ED}{HE}=2sin\omega \Leftrightarrow sin\omega =\dfrac{\varphi }{2},(1),a=2b\varphi ,(2),HE=\dfrac{2b}{\varphi },(3),HD^{2}=\dfrac{4b^{2}}{\varphi ^{2}}-b^{2},(4)$

$EO//HC\Rightarrow \dfrac{EO}{HC}=\dfrac{EK}{KH}=\dfrac{KO}{KC}\Rightarrow EK=\dfrac{2ba}{a\varphi +b\sqrt{4-\varphi ^{2}}},(**), \lambda =16\dfrac{b^{2}}{a}\dfrac{1}{EK},(*),$
λόγω της σχέσης (1)

$(*),(**),(2)\Rightarrow \lambda =4+\dfrac{2}{\varphi ^{2}}\sqrt{4-\varphi ^{2}}$

Γιάννης

Λόγος Εμβαδών

Λόγος Εμβαδών

Re: Λόγος Εμβαδών

Re: Λόγος Εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση