Μετρικές σχέσεις σε τραπέζιο

sakis1963 · #1

: FB913=G187.png (36.96 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Σε ισοσκελές τραπέζιο $ABCD, AB \parallel DC$ ισχύει AD=BC=CD=a, AB=b

και έστω $P\equiv AD \cap BC$ .

Αν το περίκεντρο

του

ανήκει στην

,

a. υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{b}{a}$

b. δείξτε ότι (ABCD)=2(DCP)

c. αν $S\equiv DC \cap (O)$ και SD=1

, υπολογίστε το

#2

sakis1963 έγραψε:FB913=G187.png
Σε ισοσκελές τραπέζιο $ABCD, AB \parallel DC$ ισχύει και έστω $P\equiv AD \cap BC$ .

Αν το περίκεντρο του ανήκει στην ,

a. υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{b}{a}$

b. δείξτε ότι

c. αν $S\equiv DC \cap (O)$ και , υπολογίστε το

Γεια σου Σάκη!

: Μετρικές σχέσεις σε τραπέζιο.png (14.44 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα ADH, DPO:

$\displaystyle{\frac{h}{R} = \frac{{b - a}}{a} = \frac{a}{{PD}} \Rightarrow }$ $\boxed{PD = \frac{{{a^2}}}{{b - a}}}$ (1)

και $\boxed{\frac{h}{R} = \frac{b}{a} - 1}$ (2)

$\displaystyle{AD \cdot PD = {R^2} - D{O^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {R^2} = {a^2}\left( {\frac{a}{{b - a}} + \frac{1}{4}} \right)}$ και από Π. Θ στο PDO

είναι, $\displaystyle{{R^2} = {a^2}\left( {\frac{{{a^2}}}{{{{(b - a)}^2}}} - \frac{1}{4}} \right)},$

οπότε $\displaystyle{\frac{a}{{b - a}} + \frac{1}{4} = \frac{{{a^2}}}{{{{(b - a)}^2}}} - \frac{1}{4} \Leftrightarrow }$ $\boxed{ \dfrac{b}{a}=\sqrt 3}$

$\displaystyle{\frac{{(ABCD)}}{{(DCP)}} = \frac{{(a + b)h}}{{aR}}\mathop = \limits^{(2)} \frac{{a + b}}{a}(\sqrt 3 - 1) = (\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 + 1) \Leftrightarrow }$ $\boxed{(ABCD)=2(DCP)}$

Είναι $R=\dfrac{a}{2}+1$ και από $\displaystyle{{R^2} = \frac{{{a^3}}}{{b - a}} + \frac{{{a^2}}}{4}},$ παίρνω $\displaystyle{(\sqrt 3+1)a^2-2a-2=0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{a = \frac{{\sqrt 3 - 1 + \sqrt {2\sqrt 3 } }}{2}}$ (3)

$\displaystyle{\cos (S\widehat PA) = \cos (P\widehat DO) = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{{a^2}}}{{b - a}}}} = \dfrac{{b - a}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}}$ και από νόμο συνημιτόνων στο ADS:

$\displaystyle{A{S^2} = {a^2} + 1 - a(\sqrt 3 - 1)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(3)} }$ $\boxed{AS = \sqrt[4]{3}}$

Μετρικές σχέσεις σε τραπέζιο

Μετρικές σχέσεις σε τραπέζιο

Re: Μετρικές σχέσεις σε τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση