Σημεῖα στὸν ἴδιο κύκλο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Τὸ τρίγωνο τῆς ἐπισυνημμένης εἰκόνας ἔχει χωρισθεῖ σὲ 36 ἴσα τρίγωνα, φέροντας κατάλληλες παραλλήλους πρὸς τὶς πλευρές του. Δείξατε ὅτι τὰ ὀρθόκεντρα τῶν ἐσκιασμένων τριγώνων κεῖνται ἐπὶ τῆς ἰδίας περιφερείας.

fig2016 copy.pdf: (149.57 KiB) Μεταφορτώθηκε 68 φορές

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

: Σημεία στον ίδιο κύκλο.png (73.6 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Ωραία άσκηση που λύνεται με στοιχειώδη μέσα!

Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα ορθόκεντρα τεσσάρων διαδοχικών σκιασμένων τριγώνων είναι ομοκυκλικά. Λόγω συμμετρίας, θα είναι ομοκυκλικά τα ορθόκεντρα όλων των σκιασμένων τριγώνων. Ισοδύναμα, και σύμφωνα με το σχήμα, αρκεί να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο H_1H_2H_3H_4

είναι εγγράψιμο.

Λόγω παραλληλίας των ενδιάμεσων ευθειών του αρχικού μεγάλου τριγώνου, προκύπτει εύκολα ότι θα είναι συνευθειακές οι τριάδες των σημείων H_1, B, H_2

, των σημείων H_2, E, H_3

, και των σημείων H_3, G, H_4

.

Επίσης, λόγω παραλληλίας των ενδιάμεσων ευθειών, προκύπτει εύκολα ότι $\widehat{H_4LM}=\widehat{H_4GM}=\widehat{H_1CM}= 90^o$ (1)
Επειδή όλα τα ενδιάμεσα τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους, θα είναι ίσα και τα αντίστοιχα στοιχεία τους. Άρα H_1C =H_4G

(2) και

(3).
Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα H_1CM

και

είναι ίσα, άρα $\widehat{H_4MG}=\widehat{H_1MC}$ και συνεπώς τα σημεία H_1, M, H_4

είναι συνευθειακά.

Έστω $\widehat{BDE}=\widehat{MLG}=x$ . Επειδή το H_2NDP

είναι εγγράψιμο, ισχύει ότι $\widehat{H_1H_2H_3}=180^o-x$ (4)

Επίσης, από την (1) προκύπτει ότι το H_4GML

είναι εγγράψιμο, άρα $\widehat{H_1H_4H_3}=\widehat{MLG}=x$ (5)

Από τις (4) και (5) προκύπτει ότι το τετράπλευρο H_1H_2H_3H_4

είναι εγγράψιμο, άρα το ζητούμενο έπεται.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Κομψὴ καὶ σύντομη ἀπόδειξη!

S.E.Louridas · #4

Πράγματι η λύση του συναδέλφου Διονύση Αδαμόπουλου είναι άριστη.
Ας δούμε και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί:
Λόγω της ισότητας των γραμμοσκιασμένων τριγώνων, στο σχήμα του εισηγητή του θέματος, που ανά δύο έχουν κοινή κορυφή και παράλληλες τις απέναντι από αυτή ίσες πλευρές, έχουμε ότι π.χ. η συνευθειακότητα των H_1, B, H_2

, αντίστοιχα ορθόκεντρα των ίσων τριγώνων DBA, ECB)

είναι πολύ εύκολη, και βέβαια ότι οι διαγώνιοι του μέσα εξαγώνου που συντρέχουν είναι μεσοκάθετοι των ευθύγραμμων τμημάτων $H_i H_{i+1}$ . Επομένως το ζητούμενο είναι άμεσο.

: ;12ς.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

Γ.-Σ. Σμυρλής · #5

Πολὺ σύντομη ἐπίσης ἀπόδειξη!

Σημεῖα στὸν ἴδιο κύκλο

Σημεῖα στὸν ἴδιο κύκλο

Re: Σημεῖα στὸν ἴδιο κύκλο

Re: Σημεῖα στὸν ἴδιο κύκλο

Re: Σημεῖα στὸν ἴδιο κύκλο

Re: Σημεῖα στὸν ἴδιο κύκλο

Μέλη σε σύνδεση