Τρίγωνο από 3 σημεία

#41

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Ουπς ! Δεν το είχα προσέξει !

Κανένα πρόβλημα. Ίσα ίσα να χαίρεσαι γιατί το έκανες ανεξάρτητα. Ο ίδιος πάντως χάρηκα που διάβασα την λύση σου γιατί είναι μάλλον δύσκολο θέμα, και σίγουρα ενθουσιάζομαι όταν η νεολαία μας ασχολείται με προκλητικά Μαθηματικά.

KARKAR · #42

Άσκηση 14

: 14.png (10.5 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Να κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή

το αντιδιαμετρικό της ,

στον περίκυκλο του τριγώνου και το ίχνος

της διχοτόμου

. ( Σήμερα για μαθητές ! )

Ορέστης Λιγνός · #43

KARKAR έγραψε:Άσκηση 14

14.png
Να κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή το αντιδιαμετρικό της ,

στον περίκυκλο του τριγώνου και το ίχνος της διχοτόμου . ( Σήμερα για μαθητές ! )

Το μέσο του AA'

είναι το κέντρο

του κύκλου (A,B,C)

.

Προεκτείνουμε την

και εκεί που ο κύκλος (O,OA)

την τέμνει είναι ο Νότιος Πόλος , έστω

.

Φέρνουμε κάθετη από το

στην

που τέμνει τον κύκλο (O,OA)

στα

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #44

KARKAR έγραψε:Άσκηση 14

14.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή το αντιδιαμετρικό της ,

στον περίκυκλο του τριγώνου και το ίχνος της διχοτόμου . ( Σήμερα για μαθητές ! )

Λίγο πιο διαφορετικά από τον Ορέστη που βλέπω πως με πρόλαβε για λίγα δευτερόλεπτα:

Φέρνουμε τον κύκλο διαμέτρου AA'

. Αυτός προφανώς θα είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABC

και έστω

το περίκεντρο του.

Ακόμη έστω

το ίχνος του ύψους από την κορυφή

στην

. Γνωρίζουμε πως η

είναι ισογώνια με την

, δηλαδή είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο

.

Αφού η AA'

ταυτίζεται με την

, έχουμε πως η

είναι συμμετρική της AA'

ως προς την διχοτόμο, άρα μπορούμε να την προσδιορίσουμε (ως ευθεία).

Ξέρουμε ακόμη πως η

περνάει από το

και είναι κάθετη στην

, επομένως μπορούμε να την κατασκευάσουμε (ευθεία που διέρχεται από προσδιορισμένο σημείο και είναι κάθετη σε προσδιορισμένη ευθεία).

Επομένως προσδιορίζουμε την

και εκεί που η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC

είναι τα

.

Ορέστης Λιγνός · #45

Άσκηση 15

Έστω οι ευθείες l_1,l_2,l_3

που συντρέχουν και σημείο A_1

της

.

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

ώστε το

να είναι το μέσο της

και οι

οι μεσοκάθετοι των πλευρών του.

KARKAR · #46

Άσκηση 16

: Συνευθειακά.png (6.03 KiB) Προβλήθηκε 949 φορές

Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο

, τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , αν εκτός του

δίνονται το ίχνος

της διχοτόμου

και το μέσο

της πλευράς

.

#47

KARKAR έγραψε:Άσκηση 16
Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , αν εκτός του

δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .

Το

το προσδιορίζουμε από την διπλάσια απόσταση

. H κορυφή

βρίσκεται στην κάθετο της

στο

καθώς και στον κύκλο του Απολλωνίου των σημείων που έχουν την ιδιότητα CA:CB=

σταθερό

.

Άλλος τρόπος για το

: Αν

, η ιδιότητα της διχοτόμου δίνει $\displaystyle{\frac {x}{\sqrt {x^2+AB^2}} = \frac {AD}{DB}}$ , άρα $\displaystyle{x= \frac {AD \cdot AB} {\sqrt {DB^2-AD^2}}}$

nikkru · #48

KARKAR έγραψε:Άσκηση 16
Συνευθειακά.pngΝα κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , αν εκτός του

δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .

Αν το σημείο

είναι μέσο της υποτείνουσας

(εκφώνηση, και όχι της

όπως φαίνεται στο σχήμα), η κατασκευή του τριγώνου είναι ακόμα πιο εύκολη.

Γράφουμε τον κύκλο (M,MA)

. Η ευθεία

τον τέμνει στο

και η ευθεία

στο

.

: Τρίγωνο από 3 σημεία.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 923 φορές

#49

KARKAR έγραψε:Άσκηση 16
Συνευθειακά.pngΝα κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , αν εκτός του

δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .

[attachment=0]Απο τρία σημεία άσκηση 16_ α τρόπος.png[/attachment]

Θεωρώ τα συμμετρικά $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ του

ως προς τα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ αντίστοιχα .

Φέρνω την κάθετη, ευθεία

, στο

επί την

και το ημικύκλιο διαμέτρου

.

Η εφαπτομένη του ημικυκλίου από το

, τέμνει τη

στο

.

#50

Έχουμε δει την κατασκευή από τα $A,\, H,\,G$ . O πειρασμός είναι να ρωτήσει κανείς και την κατασκευή από τα $H,\,G,\, I$ και την αδελφή της $O,\,G,\,I$ . Σχολιάζω (εκτός φακέλου) ότι οι κατασκευές αυτές αποδεικνύονται ανέφεικτες με κανόνα και διαβήτη. Άρα τις αφήνουμε έξω αλλά ας δούμε τώρα την

Άσκηση 17 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία $H,\,G,\, H_a$ .

#51

KARKAR έγραψε:Άσκηση 16
Συνευθειακά.png Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , αν εκτός του

δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .

Ένας αλλοπρόσαλλος τρόπος

Μόνο την κατασκευή , την απόδειξη την αφήνω σαν άσκηση πρωταρχικά στους μαθητές μας.

[attachment=0]Απο τρία σημεία άσκηση 16_ β τρόπος.png[/attachment]

Φέρνω τις κάθετες ${g_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{g_2}$ στην

στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ . Έστω δε

το συμμετρικό

του

ως προς το

. Στη ${g_2}$ θεωρώ σημείο

με $\boxed{DT = DA}$ . Η κάθετη στο

επί

την

τέμνει την ευθεία

στο

. Γράφω προς το ίδιο ημιεπίπεδο με το

ημικύκλιο διαμέτρου

. Η προέκταση του

προς το

τέμνει το ημικύκλιο στο

. Ο κύκλος (D,DS)

τέμνει τη ${g_1}$ σε δύο σημεία . Ας πούμε το ένα

. Το $\vartriangle ABC$

είναι αυτό που θέλουμε .

KARKAR · #52

Άσκηση 18

: Ίχνη.png (8.88 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο

, τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , αν είναι γνωστά

το έγκεντρο

και τα ίχνη D,E

των διχοτόμων

και

αντίστοιχα.

Κι επειδή είμαστε στο φάκελο Μαθηματικά Κατεύθυνσης , ας λύσουμε ένα παράδειγμα :

Είναι : $I(2,2) , D(3,0) , E(0,\dfrac{8}{3})$ . Δεν γνωρίζουμε αν οι κορυφές ανήκουν στους άξονες

#53

Mihalis_Lambrou έγραψε:Έχουμε δει την κατασκευή από τα $A,\, H,\,G$ . O πειρασμός είναι να ρωτήσει κανείς και την κατασκευή από τα $H,\,G,\, I$ και την αδελφή της $O,\,G,\,I$ . Σχολιάζω (εκτός φακέλου) ότι οι κατασκευές αυτές αποδεικνύονται ανέφεικτες με κανόνα και διαβήτη. Άρα τις αφήνουμε έξω αλλά ας δούμε τώρα την

Άσκηση 17 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία $H,\,G,\, H_a$ .

: H,G,H_a.png (14.69 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές

Από τα σημεία H, G

προσδιορίζουμε το περίκεντρο O(HG=2GO).

Στη συνέχεια φέρνουμε κάθετη $(\varepsilon)$ στην HH_a

στο

και ορίζεται η διεύθυνση της BC.

Με κέντρο το μέσο

του

και ακτίνα KH_a

γράφω τον κύκλο του Euler που τέμνει την $(\varepsilon)$ εκτός του H_a

και στο μέσο M_a

της πλευράς BC.

Το σημείο τομής των H_aH, M_aG

είναι η κορυφή

του τριγώνου και ο κύκλος (O, OA)

ορίζει πάνω στην $(\varepsilon)$ τα σημεία B,C.

#54

KARKAR έγραψε:Άσκηση 18
Ίχνη.pngΝα κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , αν είναι γνωστά

το έγκεντρο και τα ίχνη των διχοτόμων και αντίστοιχα.

Κι επειδή είμαστε στο φάκελο Μαθηματικά Κατεύθυνσης , ας λύσουμε ένα παράδειγμα :

Είναι : $I(2,2) , D(3,0) , E(0,\dfrac{8}{3})$ . Δεν γνωρίζουμε αν οι κορυφές ανήκουν στους άξονες

: Απο τρία σημεία ασκηση 18.png (24.81 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

Δείτε το σχήμα.

Τα Z,H

είναι συμμετρικά των D,E

ως προς τις $IE,\,\,ID$ . Από τις τομές της

με

τις $IE,\,\,ID$ προσδιορίζονται τα B,C

. Τα ημικύκλια διαμέτρων $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE$

τέμνονται ( αν τέμνονται ή εφάπτονται ) δίδουν το κατάλληλο

. Προφανώς βασική

απαίτηση $\widehat {EID} = 135^\circ$

#55

Έχουμε δει την κατασκευή από τα σημεία O, I_a, I_b.

Για να δούμε τώρα την παρακάτω:

Άσκηση 19. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τις κορυφές του και από το μέσο του

#56

KARKAR έγραψε:Άσκηση 18
Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , αν είναι γνωστά

το έγκεντρο και τα ίχνη των διχοτόμων και αντίστοιχα.

Κι επειδή είμαστε στο φάκελο Μαθηματικά Κατεύθυνσης , ας λύσουμε ένα παράδειγμα :

Είναι : $I(2,2) , D(3,0) , E(0,\dfrac{8}{3})$ . Δεν γνωρίζουμε αν οι κορυφές ανήκουν στους άξονες

Επειδή η

είναι διχοτόμος, οι γωνίες EAI, IAD

είναι από

. Άρα το

είναι η τομή των τόξων που βλέπουν τα EI, ID

υπό γωνία

. To

είναι στην τομή των

και

(= διχοτόμος). Όμοια το

.

Στο αριθμητικό παράδειγμα, το

είναι στον κύκλο διαμέτρου

. Απλά βρίσκουμε ότι είναι ο 3(x-3)x+(3y-8)y=0

. Παρατηρούμε ότι η αρχή των αξόνων βρίσκεται στον κύκλο αυτό. Δεδομένου ότι το I(2,2)

είναι στην διχοτόμο του πρώτου τεταρτημορίου και στην διχοτόμο του

, συμπεραίνουμε ότι το

είναι στην αρχή των αξόνων. Επίσης, η

είναι η

(απλό), το

είναι εκεί που η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα των τετμημένων. Άρα C(6,0)

. Όμοια βρίσκουμε το

.

#57

george visvikis έγραψε:Έχουμε δει την κατασκευή από τα σημεία Για να δούμε τώρα την παρακάτω:

Άσκηση 19. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τις κορυφές του και από το μέσο του

: Απο τρία σημεία άσκηση 19.png (40.82 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Προσδιορίζονται άμεσα , ο κύκλος του τριγώνου ABC

( Από τα

) ο βόρειος πόλος του

.Η παράλληλη από το

στην

με την

να δίδει το παράκεντρο στην πλευρά

και μετά το συμμετρικό του ως προς

είναι το παράκεντρο στη πλευρά

. Έτσι αναγόμαστε στην

άσκηση

.

#58

george visvikis έγραψε:Έχουμε δει την κατασκευή από τα σημεία Για να δούμε τώρα την παρακάτω:

Άσκηση 19. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τις κορυφές του και από το μέσο του

Την άσκηση αυτή την είχα θέσει παραπάνω. Είναι η Άσκηση 13, της οποίας έγραψε λύση ο Ορέστης.

#59

Mihalis_Lambrou έγραψε:
george visvikis έγραψε:Έχουμε δει την κατασκευή από τα σημεία Για να δούμε τώρα την παρακάτω:

Άσκηση 19. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τις κορυφές του και από το μέσο του
Την άσκηση αυτή την είχα θέσει παραπάνω. Είναι η Άσκηση 13, της οποίας έγραψε λύση ο Ορέστης.

Μπερδεύτηκα από το γράμμα I_a_b

χωρίς να διαβάσω τι είναι...

#60

Άσκηση 20

: Από τρία σημεία άσκηση 20.png (24.27 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

Σε τρίγωνο ABC

με διχοτόμο

, ύψος

και διάμεσο

δίδονται :

$M( - 1,2)\,\,,\,\,D(1, - 4)\,\,,\,\,K(\dfrac{{17}}{5},\dfrac{6}{5})$ . Να βρείτε τα $A,\,\,B,\,\,C$ .

Με την παρατήρηση ότι το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο στο

Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μέλη σε σύνδεση