Τρίγωνο από 3 σημεία

[george visvikis]

Άσκηση 20


Από τρία σημεία άσκηση 20.png

Σε τρίγωνο με διχοτόμο , ύψος και διάμεσο δίδονται :

. Να βρείτε τα .

Με την παρατήρηση ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο

Έστω

3 σημεία-Φραγκάκης.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 1607 φορές

Από το μέσο του και από το γεγονός ότι παίρνουμε τις εξισώσεις:

και (*)

Άρα και από τις δύο πρώτες εξισώσεις εύκολα βρίσκουμε Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας αυτές

τις συντεταγμένες και Π. Θ στα τρίγωνα παίρνουμε


(*) Από το σύστημα παίρνουμε και τη λύση αλλά απορρίπτεται γιατί το βγαίνει εξωτερικό σημείο του

Παρατηρήσεις: α) Δεν μου χρειάστηκε στη λύση η συνθήκη της διχοτόμου (η οποία αποδεικνύεται ότι πράγματι είναι). Αν δινόταν απλώς ότι το είναι σημείο της ευθείας τότε θα ήταν δεκτή και η λύση που απορρίφθηκε πιο πάνω.

β) Οι τέμνονται πάνω στον

[rek2]

Άσκηση 4. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία που δίνονται σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
.β)

Ας δούμε μία λύση ακόμα. Θυμίζει έντονα επίλυση τριγώνου...

Από τούς τύπους

βρίσκουμε (αναμενόμενο...(;)) και στην συνέχεια βρίσκουμε τα .

Η κατασκευή γίνεται ως εξής: Γράφουμε το κύκλο (O,R) που τέμνει την σε ένα ή δύο σημεία. Αν τέμνει σε ένα σημείο αυτό είναι το . Αν τέμνει σε δύο, το ένα είναι μέσο του και το άλλο το (από το αναμενόμενο...(;)). Βρήκαμε λοιπόν το

Οι εφαπτόμενες στους κύκλους που άγονται από το και είναι προς το μέρος του είναι οι φορείς των και οι τομές των με τον κύκλο δίνουν τα αντίστοιχα.

[rek2]

21. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα ίχνη των υψών του.

[Doloros]

Έστω τα δεδομένα ίχνη.

Ας είναι το έγκεντρο του μη ορθογωνίου τριγώνου . Φέρνω τις εξωτερικές διχοτόμους του

Απο τρία σημεία ασκηση 21.png (21.12 KiB) Προβλήθηκε 1565 φορές

που ανά δύο τέμνονται στα .

Το καθώς και τα αποτελούν λύση του προβλήματος.

Αν το είναι ορθογώνιο τρίγωνο π.χ. στο κάθε ευθεία παράλληλη,

με την ευρεία έννοια, στην τέμνει τις δύο άλλες πλευρές σε σημεία που με το

ορίζουν τρίγωνο που αποτελεί λύση

[rek2]

22. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από την κορυφή το ορθοκεντρο και το ίχνος του ύψους από το .

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 15

Έστω οι ευθείες που συντρέχουν και σημείο της .

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ώστε το να είναι το μέσο της και οι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του.

Πρώτα κατασκευάζουμε το τρίγωνο που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών του ζητούμενου:

Οι είναι τα ύψη του και μία από τις κορυφές. Από αυτά το κατασκευάζεται (φέρνουμε κάθετες από το στις . Τα δεύτερα σημεία τομής είναι οι κορυφές ).

Τώρα, από τo φέρνουμε παράλληλη της , και πράττουμε το ανάλογο με τα . Tα σημεία τομής τους είναι τα ζητούμενα. Για την απόδειξη μιμούμεθα τα βήματα της απόδειξης του Gauss για την σύγκλιση των υψών.

[george visvikis]

22. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από την κορυφή το ορθοκεντρο και το ίχνος του ύψους από το .

3 points-rek2.png (9.72 KiB) Προβλήθηκε 1536 φορές

Από το φέρνω ευθεία κάθετη στην που ορίζει τη διεύθυνση της και έστω το συμμετρικό του ως προς Γράφω τυχαίο κύκλο που διέρχεται από τα σημεία και τέμνει την στα Το είναι ένα από τα ζητούμενα τρίγωνα. Το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις.

[KARKAR]

Άσκηση 18
Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο , αν είναι γνωστά

το έγκεντρο και τα ίχνη των διχοτόμων και αντίστοιχα .

Ίχνη.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 1531 φορές

Αλλιώς : Επειδή και , η κορυφή είναι η τομή του

κύκλου διαμέτρου , με τον κύκλο που βλέπει το τμήμα με γωνία .

[KARKAR]

ίχνη 2.png (9.75 KiB) Προβλήθηκε 1439 φορές

Επειδή και η καρτεσιανή λύση έχει ενδιαφέρον , βρείτε τις κορυφές στην παρακάτω

περίπτωση , αφού πρώτα δικαιολογήσετε γιατί .

[rek2]

23. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία οι διχοτόμοι του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

[Mihalis_Lambrou]

23. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία οι διχοτόμοι του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Γράφουμε τον κύκλο που ορίζουν τα εν λόγω σημεία, ας τα ονομάσουμε , που είναι βέβαια ο περιγεραμμένος κύκλος του ζητούμενου τριγώνου. Τα είναι τα μέσα των τόξων που ορίζουν οι κορυφές του τριγώνου, και άρα οι εφαπτόμενες στον κύκλο στα σημεία αυτά είναι παράλληλες προς τις πλευρές του (άμεσο). Με άλλα λόγια οι εφαπτόμενες αυτές ορίζουν ένα τρίγωνο όμοιο προς το ζητούμενο. Το σημείο τομής των διχοτόμων του (γνωστό) είναι το αντίστοιχο ως προς την ομοιοθεσία του σημείου τομής των διχοτόμων του ζητούμενου. Άρα το προσδιορίζεται. Αν ενώσουμε τώρα τα με το , τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα ζητούμενα σημεία .

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 24 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία τα ύψη του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Άσκηση 25 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία οι διάμεσοί του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Προσθήκη αργότερα: Για την Άσκηση 25 έχω δύσκολη λύση που μάλλον ξεφεύγει από τον φάκελο. Θα χαρώ να δω κομψές λύσεις.

[harrisp]

Άσκηση 24 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία τα ύψη του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Φέρνουμε τον κύκλο που περνά απο τα σημεία αυτά που προφανώς θα είναι και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.

Τα μέσα των τόξων που ορίζουν τα δοθέντα σημεία είναι οι κορυφές του τριγώνου.




Θα βάλω απόδειξη της πρότασης αυτής αύριο!

[Mihalis_Lambrou]

Θα βάλω απόδειξη της πρότασης αυτής αύριο!

Σωστό.

Η πρόταση είναι γνωστή. Συνήθως την βλέπουμε στην ισοδύναμη μορφή: Αν τα ύψη τέμνουν την περιγεγραμμένη περιφέρεια στα , τότε τα εν λόγω ύψη είναι διχοτόμοι του τριγώνου .

Σημειώνω ότι το παραπάνω είναι μία από τις πολλές αποδείξεις του θεωρήματος ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν. Επίσης είναι ισοδύναμο με το ότι τα ύψη είναι διχοτόμοι του ορθικού τριγώνου: Το και το ορθικό έχουν παράλληλες πλευρές.

[rek2]

23. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία οι διχοτόμοι του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Γράφουμε τον κύκλο που ορίζουν τα εν λόγω σημεία, ας τα ονομάσουμε , που είναι βέβαια ο περιγεραμμένος κύκλος του ζητούμενου τριγώνου. Τα είναι τα μέσα των τόξων που ορίζουν οι κορυφές του τριγώνου, και άρα οι εφαπτόμενες στον κύκλο στα σημεία αυτά είναι παράλληλες προς τις πλευρές του (άμεσο). Με άλλα λόγια οι εφαπτόμενες αυτές ορίζουν ένα τρίγωνο όμοιο προς το ζητούμενο. Το σημείο τομής των διχοτόμων του (γνωστό) είναι το αντίστοιχο ως προς την ομοιοθεσία του σημείου τομής των διχοτόμων του ζητούμενου. Άρα το προσδιορίζεται. Αν ενώσουμε τώρα τα με το , τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα ζητούμενα σημεία .

Αλλιώς, οι κορυφές του ζητούμενου τριγώνου είναι τα σημεία που τα ύψη του τριγώνου επανατέμνουν τον κύκλο.

[rek2]

26. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία η διχοτόμος το ύψος και η διάμεσος, που αντιστοιχούν στην ίδια κορυφή του, τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Παρατήρηση. Η διχοτόμος κείται μεταξύ ύψους και διαμέσου. Για οξεία γωνία βρίσκεται "πλησιέστερα" στην διάμεσο, για αμβλεία γωνία βρίσκεται "πλησιέστερα" στο ύψος και για ορθή γωνία "ισαπέχει" από διάμεσο και ύψος. (Οι "αποστάσεις" μετρώνται από τις αντίστοιχες γωνίες). Αυτό σημαίνει ότι στην παραπάνω εκφώνηση δεν είναι αναγκαίο να δίνεται ποιο σημείο αντιστοιχεί στο ύψος ή την διάμεσο ή την διχοτόμο.

[KARKAR]

Άσκηση 27

Τρία.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 1472 φορές

Να κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνονται το περίκεντρο , το μέσο της

και το ίχνος του ύψους . Το ενδιαφέρον εστιάζεται - κυρίως - στον υπολογισμό

των συντεταγμένων των κορυφών ! ( Αλλαγή στην αρίθμηση )

[Doloros]

Άσκηση 26
Τρία.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνονται το περίκεντρο , το μέσο της

και το ίχνος του ύψους . Το ενδιαφέρον εστιάζεται - κυρίως - στον υπολογισμό

των συντεταγμένων των κορυφών !

Απο τρία σημεία_ασκηση KARKAR_26.png (37.48 KiB) Προβλήθηκε 1469 φορές

Αφού , όλα απλά .


Γενικά : Γράφω το κύκλο κέντρου κι ακτίνας . Η κάθετη στο στην τέμνει αυτόν τον κύκλο στα , .

Τα υπόλοιπα απλά .

[Mihalis_Lambrou]

25. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία η διχοτόμος το ύψος και η διάμεσος, που αντιστοιχούν στην ίδια κορυφή του, τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Έστω τα δοθέντα σημεία, αντίστοιχα, για το ύψος, την διχοτόμο και την διάμεσο από το επί του περιγεγραμμένου κύκλου.

Γράφουμε τον κύκλο (=περιγεγραμμένος) οπότε βρίσκουμε το . Επειδή το είναι το μέσον του τόξου (ιδιότητα διχοτόμου), η είναι κάθετος στην και άρα παράλληλη της . Φέρνοντας από το παράλληλο της , προσδιορίζουμε το ως η τομή της με τον κύκλο.

Επειδή τα είναι συνευθειακά (είναι η διάμεσος), βρίσκουμε το ως την τομή των . Από το φέρνουμε κάθετο στην . Αυτή τέμνει τον κύκλο στα . Τελειώσαμε.

[george visvikis]

3 σημεία-28.png (11 KiB) Προβλήθηκε 1433 φορές

Άσκηση 28. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία ( το μέσο της το ίχνος του ύψους από την κορυφή και το μέσο του αντίστοιχα).


ΥΓ. Έβαλα στην άσκηση τον αύξοντα αριθμό γιατί έγινε κάποιο λάθος και υπάρχουν δύο ασκήσεις με τον αριθμό Άρα η αμέσως προηγούμενη του Θανάση είναι η και η πιο πριν του Κώστα η Όποιος έχει πρόσβαση στο φάκελο ας διορθώσει την αρίθμηση.