Κύκλος 23.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 200.png (5.71 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές $AB=5, A\Gamma =7, B\Gamma =6$ και κύκλος
του οποίου το κέντρο

βρίσκεται επί της $A\Gamma$ και εφάπτεται των πλευρών $B\Gamma$
και

στα σημεία $\Delta$ και

αντίστοιχα. Υπολογίστε την ακτίνα του.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές $AB=5, A\Gamma =7, B\Gamma =6$ και κύκλος
του οποίου το κέντρο βρίσκεται επί της $A\Gamma$ και εφάπτεται των πλευρών $B\Gamma$
και στα σημεία $\Delta$ και αντίστοιχα. Υπολογίστε την ακτίνα του.

Θέτουμε

, oπότε

. Επειδή το

είναι στην διχοτόμο της

, ισχύει

. Λύνοντας το σύστημα είναι $p=\frac {42}{11} , \, q= \frac {35}{11}$ .

Αν

η ακτίνα του κύκλου και x=DG, y=EA

τότε

, άρα

. Επίσης από τα ορθογώνια τρίγωνα GDO, AEO

έχουμε $R^2+x^2=p^2=\left (\frac {42}{11} \right )^2$ και $R^2+y^2=q^2= \left (\frac {35}{11}\right )^2$ .

Λύνουμε το σύστημα αρχίζοντας με αφαίρεση κατά μέλη των δύο τελευταίων. Δίνει $1 \cdot (x+y) = \frac {49}{11}$ , οπότε $x=\frac {30}{11}, y= \frac {19}{11}$ .

Τέλος $R^2= \left (\frac {42}{11} \right )^2-x^2=\left (\frac {42}{11} \right )^2-\left (\frac {30}{11} \right )^2$ οπότε $R= \frac {12 \sqrt 6}{11}$ .

Φανης Θεοφανιδης · #3

Αυτή τη λύση έχω και εγώ Μιχάλη.
Σ' ευχαριστώ για την ενασχόληση.

#4

: Κύκλος 23 Φάνης.png (24.58 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Αν

το εμβαδόν του $\vartriangle ABC$ και

η ακτίνα που ζητάμε θα είναι :

$\boxed{E = \frac{1}{2}R(a + c) = \frac{{11R}}{2}}$ . Με $\boxed{s = \frac{{5 + 6 + 7}}{2} = 9}$ από τον τύπο του Ήρωνα :

$E = \sqrt {s(s - a)(s - b)(s - c)} = 6\sqrt 6$ συνεπώς $\boxed{R = \frac{{12\sqrt 6 }}{{11}}}$ .

#5

: Κύκλος 23_τριγωνομετρικά.png (15.1 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές

Από Θ συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ , βρίσκω $\cos C = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \sin C = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{7}$ . Από Θ.

διχοτόμου βρίσκω $OC = \dfrac{{42}}{{11}}$ . Επειδή από το $\vartriangle ODC$ έχω $R = OC \cdot \sin C = \dfrac{{42}}{{11}} \cdot \dfrac{{2\sqrt 6 }}{7}$

θα είναι $\boxed{R = \frac{{12\sqrt 6 }}{{11}}}$

#6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:200.png

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές $AB=5, A\Gamma =7, B\Gamma =6$ και κύκλος
του οποίου το κέντρο βρίσκεται επί της $A\Gamma$ και εφάπτεται των πλευρών $B\Gamma$
και στα σημεία $\Delta$ και αντίστοιχα. Υπολογίστε την ακτίνα του.

Τραβηγμένο...

: Κύκλος 23.png (16.54 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Φέρνοντας εφαπτόμενες στον κύκλο από τα A, C,

σχηματίζω το περιγεγραμμένο τετράπλευρο ABCZ.

Με νόμο συνημιτόνων

στο ABC

βρίσκω $\displaystyle{\cos A = \frac{{19}}{{35}} \Leftrightarrow \sin A = \frac{{12\sqrt 6 }}{{35}} \Leftrightarrow \frac{{BK}}{5} = \frac{{12\sqrt 6 }}{{35}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{BZ = \frac{{24\sqrt 6 }}{7}}$ (1)

$\displaystyle{\frac{{AC \cdot BZ}}{2} = (ABCZ) = \frac{{5 + 5 + 6 + 6}}{2}R\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 7 \cdot \frac{{24\sqrt 6 }}{7} = 22R \Leftrightarrow }$ $\boxed{R=\frac{12\sqrt{6}}{11}}$

#7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:200.png

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές $AB=5, A\Gamma =7, B\Gamma =6$ και κύκλος
του οποίου το κέντρο βρίσκεται επί της $A\Gamma$ και εφάπτεται των πλευρών $B\Gamma$
και στα σημεία $\Delta$ και αντίστοιχα. Υπολογίστε την ακτίνα του.

: Κύκλος 23_Κλασσικά.png (18.16 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

Επειδή η πιο μεγάλη πλευρά του $\vartriangle ABC$ είναι η AC = b = 7

και

$49 < 36 + 25 \Leftrightarrow 49 < 61$ . Το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

Έστω h = AT

το ύψος του τριγώνου $\vartriangle ABC$ .

Από το Θ. επέκτασης έχω : ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2a \cdot BT \Rightarrow 49 = 61 - 12BT \Rightarrow BT = 1$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle TAB$ έχω : $h = \sqrt {{5^2} - {1^2}} = 2\sqrt 6$ .

Είναι δε και $CO = \dfrac{{42}}{{11}}$ ( Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle ABC$ ) . Από την προφανή ομοιότητα των

ορθογωνίων τριγώνων , $DOC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TAC$ έχω :

$\dfrac{{CO}}{{CA}} = \dfrac{{OD}}{{AT}} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{{42}}{{11}}}}{7} = \dfrac{R}{{2\sqrt 6 }} \Rightarrow \dfrac{{6 \cdot 7}}{{11 \cdot 7}} = \dfrac{R}{{2\sqrt 6 }}$ και άρα $\boxed{R = \dfrac{{12\sqrt 6 }}{{11}}}$

Κύκλος 23.

Κύκλος 23.

Re: Κύκλος 23.

Re: Κύκλος 23.

Re: Κύκλος 23.

Re: Κύκλος 23.

Re: Κύκλος 23.

Re: Κύκλος 23.

Μέλη σε σύνδεση