Τριπλάσιο

KARKAR · #1

: Τριπλάσιο.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές

Τα σημεία K,L

τριχοτομούν τη διάμετρο

του μεγάλου ημικυκλίου .

Η κάθετη στο

τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο

και το μεγάλο στο

.

Οι εφαπτόμενες στα M,N

τέμνονται στο

. Δείξτε ότι NS=3NM

.

fmak65 · #2

Έστω O το κέντρο του ημικυκλίου AB. Αν r η ακτίνα του ημικυκλίου τότε $OK = \frac{r}{3}$ . Τα τρίγωνα MSN και OKN είναι όμοια γιατί έχουν δύο γωνίες ίσες. ( $\hat{K} = \hat{M} = 90^o$ . $\hat{N} = \hat{O}$ επειδή έχουν τις πλευρές τους κάθετες μεταξύ τους ανά δύο).
Άρα και οι πλευρές τους είναι ανάλογες, οπότε αποδεικνύετε το ζητούμενο.

KARKAR · #3

: Τριπλάσιο.png (13.97 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές

Βάζω το σχήμα της όμορφης λύσης του Φώτη

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε:Τριπλάσιο.pngΤα σημεία τριχοτομούν τη διάμετρο του μεγάλου ημικυκλίου .

Η κάθετη στο τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο και το μεγάλο στο .

Οι εφαπτόμενες στα τέμνονται στο . Δείξτε ότι .

Λόγω ισότητος των κόκκινων γωνιών κι επειδή $\displaystyle{AN \bot NB}$ τα $\displaystyle{A,B}$ είναι αρμονικά συζυγή των $\displaystyle{P,K}$

$\displaystyle{\frac{{BK}}{{BP}} = \frac{{AK}}{{AP}} \Rightarrow \frac{{2AK}}{{BP}} = \frac{{AK}}{{AP}} \Rightarrow BP = 2AP \Rightarrow \boxed{AP = 2R}}$

$\displaystyle{\frac{{NP}}{{NK}} = \frac{{PA}}{{AK}} = 3 \Rightarrow \boxed{\frac{{NS}}{{NM}} = 3}(SM//PK)}$

: Τριπλάσιο.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

#5

KARKAR έγραψε:Τριπλάσιο.pngΤα σημεία τριχοτομούν τη διάμετρο του μεγάλου ημικυκλίου .

Η κάθετη στο τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο και το μεγάλο στο .

Οι εφαπτόμενες στα τέμνονται στο . Δείξτε ότι .

Έστω

: Τριπλάσιο.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

$\displaystyle{{\cos ^2}\omega = \frac{{K{B^2}}}{{B{N^2}}} = \frac{{4{a^2}}}{{6{a^2}}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \cos 2\omega = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{NS=3NM}$

#6

Είπα κι εγώ να κάνω μια τριγωνομετρική λύση και με έφαγε στη στροφή ο Γιώργος!

#7

KARKAR έγραψε:Τριπλάσιο.pngΤα σημεία τριχοτομούν τη διάμετρο του μεγάλου ημικυκλίου .

Η κάθετη στο τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο και το μεγάλο στο .

Οι εφαπτόμενες στα τέμνονται στο . Δείξτε ότι .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας .

: Τριπλάσιο.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές

Έστω $R = 3\sqrt 3$ άρα $A{N^2} = AK \cdot AB = 2\sqrt 3 \cdot 6\sqrt 3 = 36 \Rightarrow \boxed{AK = 6}$ .

$\boxed{\sin \omega = \frac{{2\sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}$

Επειδή η

διχοτομεί τη $\widehat {SNK}$ θα έχω : $\boxed{\sin \theta = \cos 2\omega = 1 - 2{{\sin }^2}\omega = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}}$

Άρα NS = 3NM

.

Τριπλάσιο

Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση