Βρείτε τη διαφορά

sakis1963 · #1

: FB1029c.png (33.66 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

Σε τρίγωνο ABC

, το εφαπτόμενο τμήμα

, από το μέσον

της

προς το κύκλο με διάμετρο την διχοτόμο

είναι

.

Βρείτε την διαφορά $\mid b-c \mid$

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σου Σάκη.

Αν

το (δεύτερο) σημείο τομής του κύκλου με την

έχουμε $MK=BM-BK=\dfrac{a}{2}-c \cos \widehat{B}=\dfrac{b^2-c^2}{2a}$ , οπότε $MK=\dfrac{b^2-c^2}{2a}$ (1).

Επίσης, $DM=DC-MC=\dfrac{ab}{b+c}-\dfrac{a}{2}=\dfrac{ab-ac}{b+c} \Rightarrow DM=\dfrac{a(b-c)}{2(b+c)}$ (2).

Έτσι, $ML^2=MD \cdot MK \mathop \Rightarrow \limits^{(1), (2)} \ldots \Rightarrow (b-c)^2=4 \Rightarrow \boxed{|b-c|=2}$ .

#3

Λίγο διαφορετικά

Ας υποθέσουμε π.χ. b > c

. Έστω ακόμα

το άλλο εκτός του

σημείο τομής της

με τον κύκλο.

Από το θεώρημα διχοτόμου στο $\vartriangle ABC$ είναι

$\boxed{DB = \frac{{ac}}{{b + c}} \Rightarrow DM = \frac{a}{2} - \frac{{ac}}{{b + c}} = \frac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}}}\,\,(1)$ .Από δεύτερο θεώρημα διαμέσων στο

$\vartriangle ABC$ και αφού $AK \bot BC$ έχω ${b^2} - {c^2} = 2aKM\,\,(2)$ .

: Βρείτε τη διαφορά.png (26.33 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Επίσης $M{L^2} = MK \cdot MD \Rightarrow \boxed{MK = \frac{1}{{MD}}}$ που λόγω της (1)

δίδει: $\boxed{MK = \frac{{2(b + c)}}{{a(b - c)}}}\,\,(3)$

Η (2)

έτσι γράφεται : $\boxed{(b - c)(b + c) = 2a\frac{{2(b + c)}}{{a(b - c)}} \Rightarrow {{(b - c)}^2} = 4 \Rightarrow |b - c| = 2}$

#4

sakis1963 έγραψε:FB1029c.png
Σε τρίγωνο , το εφαπτόμενο τμήμα , από το μέσον της προς το κύκλο με διάμετρο την διχοτόμο είναι .

Βρείτε την διαφορά $\mid b-c \mid$

Μια ακόμη .

Πάλι έστω b > c

Φέρνω κάθετη από το

στη διχοτόμο που την τέμνει στο

και την

στο

. Ας

είναι

η επί πλέον τομή της

με τον κύκλο .

Είναι: $\boxed{MK// = \frac{1}{2}EC = \frac{{b - c}}{2}}\,\,(1)$ , Επειδή $MN//AC \Rightarrow \widehat \theta = \widehat \omega$ . Αλλά από το

εγγράψιμο τετράπλευρο ABKN

, $\widehat \phi = \widehat \omega$ και άρα $\boxed{\widehat \theta = \widehat \phi }$ που μας εξασφαλίζει ότι το

: Βρείτε τη διαφορά_new.png (32.99 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές

εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου στο $\vartriangle NKD$ .

Έτσι θα έχουμε ταυτόχρονα : $M{L^2} = MD \cdot MK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M{N^2} = MD \cdot MK \Rightarrow MN = 1$

Αρα λόγω της (1)

και προφανώς c - b = 2

, αν

. Άρα με $b \ne c$

έχω , |b - c| = 2

.

sakis1963 · #5

Ευχαριστώ τον Νίκο και το Ορέστη για της λύσεις τους και να προσθέσω μια παραλλαγή που αντιμετωπίζεται με τον ίδιο τρόπο.

Αν

το εφαπτόμενο τμήμα προς τον έγκυκλο του ABC

τότε

Βρείτε τη διαφορά

Βρείτε τη διαφορά

Re: Βρείτε τη διαφορά

Re: Βρείτε τη διαφορά

Re: Βρείτε τη διαφορά

Re: Βρείτε τη διαφορά

Μέλη σε σύνδεση