Λόγος ακτίνων από εφαπτομένη

#1

: Λόγος ακτίνων από εφαπτομένη.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

Κύκλος

εφάπτεται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2R

σε σημείο

και στη διάμετρο του ημικυκλίου

σε κάποιο σημείο της. Αν $A\widehat BP=\theta,$ να βρείτε το λόγο $\dfrac{R}{r}$ συναρτήσει της $\displaystyle{\tan \theta }.$

#2

$\boxed{\frac{R}{r} = \frac{{{{(\tan \theta + 1)}^2}}}{{2\tan \theta }}}$

Πράγματι:

: Λόγος ακτίνων από εφαπτομένη.png (27.37 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο

. Φέρνω την εφαπτομένη του

ημικυκλίου στο

που τέμνει τη ευθεία

στο

.

Από τηη προφανή ομοιότητα $\vartriangle KOT \approx \vartriangle SOP$ έχω : $\boxed{\frac{{KO}}{{KT}} = \frac{{SO}}{{SP}} \Rightarrow \frac{{R - r}}{r} = \frac{1}{{\sin 2\theta }}}$

Άρα $\boxed{\frac{R}{r} = 1 + \frac{1}{{\sin 2\theta }} = 1 + \frac{{1 + {{\tan }^2}\theta }}{{2\tan \theta }} = \frac{{{{(\tan \theta + 1)}^2}}}{{2\tan \theta }}}$

#3

Ωραία λύση Νίκο

Η δική μου είναι πιο μπελαλίδικη και έχει περισσότερες αλγεβρικές πράξεις.

: Λόγος ακτίνων από εφαπτομένη.b.png (22.78 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές

Με Π. Θ βρίσκω $\boxed{R^2-x^2=2Rr}$ (1)

Από κατασκευής του κύκλου η

διέρχεται από το νότιο πόλο του (O, R),

οπότε διχοτομεί την ορθή γωνία. Άρα: $\displaystyle{\tan \theta = \frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{AE}}{{EB}}}$ και

$\displaystyle{AE = \frac{{2R \cdot PA}}{{PA + PB}} = \frac{{2R \cdot PB\tan \theta }}{{PB(1 + \tan \theta )}} \Leftrightarrow AE = \frac{{2R\tan \theta }}{{1 + \tan \theta }} \Rightarrow EB = \frac{{2R}}{{1 + \tan \theta }}}$

$\displaystyle{AE \cdot EB = \frac{{4{R^2}\tan \theta }}{{{{(1 + \tan \theta )}^2}}} \Leftrightarrow {R^2} - {x^2} = \frac{{4{R^2}\tan \theta }}{{{{(1 + \tan \theta )}^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 2Rr = \frac{{4{R^2}\tan \theta }}{{{{(1 + \tan \theta )}^2}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{R}{r} = \frac{{{{(1 + \tan \theta )}^2}}}{{2\tan \theta }}}$

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση $\theta=15^0$ όπου δίνει

Λόγος ακτίνων από εφαπτομένη

Λόγος ακτίνων από εφαπτομένη

Re: Λόγος ακτίνων από εφαπτομένη

Re: Λόγος ακτίνων από εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση