Ολα στο τραπέζι(ο)

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA191b.png (22.6 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Στις προεκτάσεις της πλευράς

, δισορθογώνιου τραπεζίου $ABCD, \hat{A}=\hat{D}=90^o$ , παίρνουμε τμήματα AS, DT

τέτοια ώστε AS+DT=AD

.

Αν $P\equiv TC \cap SB$ , δείξτε οτι το περίκεντρο

του

ανήκει στον περίκυκλο του PBC

S.E.Louridas · #2

sakis1963 έγραψε:GEOMETRIA191b.png
Στις προεκτάσεις της πλευράς , δισορθογώνιου τραπεζίου $ABCD, \hat{A}=\hat{D}=90^o$ , παίρνουμε τμήματα τέτοια ώστε .
Αν $P\equiv TC \cap SB$ , δείξτε οτι το περίκεντρο του ανήκει στον περίκυκλο του

Καλημέρα.
Επιτρέψτε μου ένα σχόλιο:
Θεωρώ ότι έχουμε ένα πολύ όμορφο θέμα που σίγουρα αναδεικνύει την Μαθηματική φαντασία του κατασκευαστή. Λιτή ακριβής εκφώνηση που δεν στοχεύει για τη λύση του, στην αποκρυπτογράφηση δύστροπου σχήματος ως δεδομένου στην εκφώνηση (γραμμές και κόντρα γραμμές κύκλοι και κόντρα κύκλοι κτλ. και όλα αυτά ως δεδομένα εκφώνησης) , αλλά στοχεύει στη δημιουργία Μαθηματικών συλλογισμών. Προσωπικά ως μέλος της επιτροπής διαγωνισμών της ΕΜΕ, για την κατασκευή προβλημάτων Γεωμετρίας προσπαθούσα μετ' επιτάσεως να μην "στραύωνα" οπτικά τον λύτη, αλλά όπως εδώ ο Σάκης τα προβλήματα να είχαν λιτή ακριβή εκφώνιση, ώστε να μην αναλωθεί ο λύτης σε οπτικές αποκρυπτογραφήσεις, εν ώρα διαγωνίσματος.

Στο σχήμα που ακολουθεί κατ' αρχάς ο κύκλος

έχει κέντρο το σημείο

και ακτίνα

και ο κύκλος

έχει κέντρο το σημείο

και ακτίνα

και βέβαια από την υπόθεση προκύπτει, ότι θα υπάρχει σημείο

της

από το οποίο θα διέρχονται οι κύκλοι αυτοί. Λόγω τώρα των προφανών συμμετριών παίρνουμε: $\angle BKC = {180^ \circ } - \angle STC - \angle BST = \angle CPB \Rightarrow \angle CLK = \angle CPB.$ Άρα τα σημεία L,C,B,P

είναι ομοκυκλικά. Επομένως $\angle LCT = \angle LBS,$ και επειδή τα τρίγωνα $CLT,\;BLS$ είναι ισοσκελή παίρνουμε $\angle TLS = \angle CLB = \angle CPB.$ Το σημείο

ως σημείο τομής των μεσοκαθέτων των $LT,\;LS$ , θα είναι το κέντρο του κύκλου που περνά από τα σημεία L,T,S

άρα και από τα σημεία P,T,S.

Παρατηρούμε ότι $\angle BOC = {180^ \circ } - \angle TLS = {180^ \circ } - \angle CPB.$ Έτσι καταλήξαμε στο ζητούμενο.

: sakis.png (37.91 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

sakis1963 · #3

Πράγματι Σωτήρη είναι πολύ όμορφο θέμα, αλλά δυστυχώς δεν είναι δικό μου.

Το πόσταρε ενας βιετναμέζος πιτσιρικάς (Dang Khoa (14)) αλλού.

Να δεχτώ μόνο τα καλά λόγια για την διατύπωση - παρουσίαση.

Επισυνάπτω παρακάτω και το πρωτότυπο

: Dang Khoa.png (196.04 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

Επίσης υπάρχει μια λύση ακόμη από τον Κώστα Ρεκούμη εδώ

S.E.Louridas · #4

Επιμένω όμως Σάκη στη προσωπική μου άποψη, ότι ο τρόπος που το μετασχημάτισες έκαναν το θέμα πιο «δυνατό», αφού χρειάστηκαν κάποιες επιπλέον έξυπνες κινήσεις και δείχνει το Γεωμετρικό σου ταλέντο.

Ολα στο τραπέζι(ο)

Ολα στο τραπέζι(ο)

Re: Ολα στο τραπέζι(ο)

Re: Ολα στο τραπέζι(ο)

Re: Ολα στο τραπέζι(ο)

Μέλη σε σύνδεση