Εύρεση τμήματος 3

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (12.36 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,(\angle A = {90^ \circ })$ , του παραπάνω σχήματος, δίνονται: $AB = AD = AE,\,BD = 5\sqrt 2$ και DE = 7

. Να βρείτε το μήκος του τμήματος CD = x

#2

Αρκεί να υπολογίσουμε την πλευρά AB = c

Είναι $\displaystyle \boxed{c = \frac{{13\sqrt 2 }}{2}}$

Edit: Άρση απόκρυψης.

#3

Καλό βράδυ στους φίλους Μιχάλη και Νίκο.
(Δεν μου λειτουργεί το Geogebra και δεν κατασκευάζω το σχήμα)
Μια λύση
Προφανώς το άθροισμα των γωνιών $\displaystyle{ADB}$ και $\displaystyle{ADE}$ είναι $\displaystyle{135^{o}}$ και άρα η γωνία $\displaystyle{ED\Gamma}$ ισούται με $\displaystyle{45^{o}}$
Φέρνουμε $\displaystyle{ET}$ κάθετη στην $\displaystyle{D\Gamma}$ και αφού είναι $\displaystyle{ET=TD}$ και $\displaystyle{ED=7}$ , άρα $\displaystyle{ET=TD=\frac{7\sqrt{2}}{2}}$
Για ευκολία θέτουμε $\displaystyle{AB=w}$ και $\displaystyle{E\Gamma =y}$ .
Από τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{ET\Gamma}$ και $\displaystyle{AB\Gamma}$ έχουμε: $\displaystyle{\frac{ET}{AB}=\frac{E\Gamma}{B\Gamma}}$ και άρα
$\displaystyle{2yw =7\sqrt{2}(5\sqrt{2}+x)}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)
Από την γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωνο $\displaystyle{ED\Gamma}$ παίρνουμε:
$\displaystyle{y^2 =x^2 +49-7\sqrt{2}x}$ , (ΣΧΕΣΗ 2)
Τέλος, θεωρώντας τον κύκλο $\displaystyle{(A,w)}$ έχουμε:
$\displaystyle{\Gamma D.\Gamma B=\Gamma A^2 -w^2}$ και άρα λόγω και των σχέσεων 1 και 2 έχουμε:

$\displaystyle{x(x+5\sqrt{2})=(y+w)^2 -w^2 \Rightarrow x=\frac{119\sqrt{2}}{10}}$

(Νικόλα, μάλλον ως πιο ειδικός γεωμέτρης, θα έχεις κάποια πολύ πιο απλή λύση υπ όψιν σου )

#4

Καλησπέρα στους φίλους!

: Εύρεση τμήματος 3.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

Συμφωνώ και με τα δύο αποτελέσματα, αλλά έχω τριγωνομετρική λύση. Αν δεν βρω γεωμετρική, θα την αναρτήσω.

KARKAR · #5

: νέο τμήμα.png (24.53 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

. ..και τεμνόμενες χορδές των δύο κύκλων : $CD=y+\dfrac{7\sqrt{2}}{2}=\dfrac{119\sqrt{2}}{10}$

#6

Γράφω το κύκλο $(A,AB)\,\,$ και έστω

το αντιδιαμετρικό του

. Επειδή η

είναι μεσοκάθετος στο

αβίαστα προκύπτουν τα παρακάτω:

$ET = EB\,\,,\,\,\widehat {BTE} = 45^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {EDC} = 45^\circ$ .

Μα τώρα το

είναι έγκεντρο του $\vartriangle TDC$ και έστω $K\,\,,L\,\,,M$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις $DC\,\,,\,DT\,\,,\,TC$ αντίστοιχα .

Θέτω $TD = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EK = r$ .

: Εύρεση Τμήματος 3 Ναννος.png (43.97 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

Η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου DTC

είναι :

$2s = TD + DC + CT = y + x + x + 5\sqrt 2 = 2x + y + 5\sqrt 2$ (1)

$2r = 7\sqrt 2$ ενώ $TL = TM = BK = 5\sqrt 2 + \dfrac{{7\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{17\sqrt 2 }}{2}$ Μα έτσι

$y = TD = TL + LD = 12\sqrt 2$ .

Μετά απ’ αυτά επειδή λόγω της (1)

, $2s = 2x + 17\sqrt 2 \,\,\,(2)$ θα έχω :

$(DTC) = \dfrac{{xy}}{2} = sr \Rightarrow 2xy = 2s \cdot 2r$ ή

$24x\sqrt 2 = (2x + 17\sqrt 2 )7\sqrt 2 \Rightarrow 24x = 7(2x + 17\sqrt 2 )$ και άρα $\boxed{x = \frac{{119\sqrt 2 }}{{10}}}$

Εύρεση τμήματος 3

Εύρεση τμήματος 3

Re: Εύρεση τμήματος 3

Re: Εύρεση τμήματος 3

Re: Εύρεση τμήματος 3

Re: Εύρεση τμήματος 3

Re: Εύρεση τμήματος 3

Μέλη σε σύνδεση