Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Ιστοσελίδα · #1

Ποιό είναι το μέτρο της μικρότερης γωνίας που σχηματίζουν προεκτεινόμενες οι πλευρές ενός κανονικού

-γώνου;

Ανδρέας Πούλος · #2

Αριθμούμε τις κορυφές του κανονικού 17-γώνου με τους αριθμούς από 1 έως και 17.
Τότε οι πλευρές του θα συμβολίζονται 12, 23, 34, ...1617 από τα σύμβολα των κορυφών τους.
Επειδή 17 = 2.8 +1 σημαίνει ότι το ζεύγος των κορυφών 1 και 10 σχηματίζουν με το κέντρο Ο του 17-γώνου τη μέγιστη κυρτή επίκεντρη γωνία, η οποία ισούται με (360/17).8 σε μοίρες. Αν Κ το σημείο τομής των ευθειών 12 και 910, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία που σχηματίζουν αυτές δηλαδή τη γωνία 1Κ10.
Ισχύει Ο1Κ = Ο10Κ = (180 -360/17)/2.
Άρα 1Κ10 = 360 - (360/17).8 - (180-360/17) = 180 - (360/17).7 = 180(1-14/17) = 540/17, δηλαδή περίπου 32 μοίρες.
Συγνώμη που δυσκολεύομαι να γράφω στο LATEX. Σϊγουρα ένα σχήμα και ένα κείμενο με σύμβολα οικεία θα βοηθούσε πολύ τον αναγνώστη (ειδικά τους μαθητές) για να παρακολουθήσει τη διαδικασία προσέγγισης του ζητήματος. Η διαδικασία αυτή είναι ίδια για οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο.
Ελπίζω να μην έκανα κάποιο υπολογιστικό λάθος, επειδή θέλω να δημοσιεύσω πρώτος μία λύση.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

chris · #3

Για την ιστορία ο μεγαλος μαθηματικος Carl Gauss απέδειξε(σε ηλικια 19 ετων παρακαλω) οτι η κατασκευη κανονικου δεκαεπταγωνου
ειναι εφικτη με κανονα και διαβητη(με τη βοηθεια των Fn-πρώτοι αριθμοί του Fermat). Πάντως ο Erchinger έδωσε πρώτος μέθοδο για την κατασκευή του(μετα την αποδειξη του Gauss). Αξίζει να αναφερουμε οτι o Gauss θεωρούσε την κατασκευή δεκαεπταγώνου το κορυφαιο επίτευγμά του και ήθελε ο τάφος του να έχει χαραγμένο ενα κανονικό δεκαεπτάγωνο.Ακόμα
και σήμερα ο ταφος του στο Braunschweig της Γερμανίας εδράζεται σε βάθρο σχήματος κανονικου δεκαεπταγώνου.

Ιστοσελίδα · #4

Ανδρέα, το αποτέλεσμα που βγάζω είναι $\dfrac{180^0}{17}$ . Θέλω να το ελέγξω αν είναι σωστό.
Δεν έχω εύκολη πρόσβαση στο διαδίκτυο, γι΄αυτό όταν μπορέσω θα γράψω τη λύση που έδωσα.

#5

Συμφωνώ με τον Ανδρέα ότι οι ευθείες A_1A_2

και $A_9A_{10}$ σχηματίζουν την ελάχιστη γωνία. Έχω την εντύπωση όμως πως έχει γίνει λάθος στις πράξεις. Θα συμφωνήσω με τον stranton ότι η απάντηση είναι $2\pi /17$ .

Βάζω μια λύση με μιγαδικούς. Ίσως ακατάλληλη για Β' Λυκείου αλλά μπορεί να τροποποιηθεί χρησιμοποιώντας μόνο ημίτονα και συνημίτονα.

Ας γράψουμε $A_0,A_1,\ldots,A_16$ για τις κορυφές του 17γώνου. Αν $\omega = e^{2\pi/17} = \cos{2\pi/17} + i\sin{2\pi/17}$ , τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι στο μιγαδικό επίπεδο $A_i = \omega^i$ .

Η γωνία που σχηματίζεται από τις ευθείες $A_iA_{i+1}$ και $A_jA_{j+1}$ είναι η $\displaystyle{\arg{\left( \frac{\omega^{j+1} - \omega^j}{\omega^{i+1} - \omega^i} \right)} = \arg{(\omega^{j-i})} = \frac{2\pi(j-i)}{17}}$ (ή $\displaystyle{\frac{2\pi(j-i)}{17}}}$ αν j-i > 8

).

Άρα η ελάχιστη γωνία είναι $2\pi/17$ .

fmak65 · #6

Και εγω την λυση που βγαζω ειναι 180/17 = 10,59 μοιρες περιπου.
η μια πλευρα σχηματιζει μικροτερη γωνια με τις διαμετρικα απεναντι πλευρες που ξεκινανε απο την 9η κορυφη. Εστω οτι η γωνια ειναι αναμεσα στην πρωτη και την ογδοη πλευρα. φερουμε παραλληλο απο την 9η προς την πλευρα.Η εξωτερικη γωνια ειναι 180 +360/17 μοιρες. και χωρισετε σε τρεις γωνιες , μια 180 μοιρων και δυο ισες που η καθεμια ειναι 180/17 μοιρες. απο αυτες η μια ειναι εντος εναλλαξ με την ζητουμενη αρα ιση.
Δεν ξερω αν το εξηγησα καλα , αν μπορει καποιος το σχημα καλο θα ηταν

Ανδρέας Πούλος · #7

Ψάχνω να βρω το υπολογιστικό λάθος μου. Μόλις το βρώ το στέλνω.

Το βρήκα. Ξαναγράφω το κείμενο με διόρθωση στην 6η γραμμή μετά από αυτήν. Το 8 πρέπει να γίνει 9.
Αριθμούμε τις κορυφές του κανονικού 17-γώνου με τους αριθμούς από 1 έως και 17.
Τότε οι πλευρές του θα συμβολίζονται 12, 23, 34, ...1617 από τα σύμβολα των κορυφών τους.
Επειδή 17 = 2.8 +1 σημαίνει ότι το ζεύγος των κορυφών 1 και 10 σχηματίζουν με το κέντρο Ο του 17-γώνου τη μέγιστη κυρτή επίκεντρη γωνία, η οποία ισούται με (360/17).8 σε μοίρες. Αν Κ το σημείο τομής των ευθειών 12 και 910, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία που σχηματίζουν αυτές δηλαδή τη γωνία 1Κ10.
Ισχύει Ο1Κ = Ο10Κ = (180 -360/17)/2.
Άρα 1Κ10 = 360 - (360/17).9 - (180-360/17) = 180 - (360/17).8 = 180(1-16/17) = 180/17, δηλαδή περίπου 10,59 μοίρες.
Συγνώμη που δυσκολεύομαι να γράφω στο LATEX. Σϊγουρα ένα σχήμα και ένα κείμενο με σύμβολα οικεία θα βοηθούσε πολύ τον αναγνώστη (ειδικά τους μαθητές) για να παρακολουθήσει τη διαδικασία προσέγγισης του ζητήματος. Η διαδικασία αυτή είναι ίδια για οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο.
Ελπίζω να μην έκανα κάποιο υπολογιστικό λάθος, επειδή θέλω να δημοσιεύσω πρώτος μία λύση.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ιστοσελίδα · #8

Οι ${\rm A}{\rm B}$ , $\Gamma\Delta$ είναι δύο πλευρές ενός κανονικού $\nu$ -γώνου, οι οποίες προεκτεινόμενες τέμνονται στο $\rm P$ . Αν στο τόξο ${\rm B}\Delta$ υπάρχουν

πλευρές του κανονικού $\nu$ -γώνου, τότε στο τόξο ${\rm A}\Gamma$ θα υπάρχουν $\nu-x-2$ πλευρές.

Αντίστοιχα θα έχουμε

και $\nu-x-2$ ίσα τόξα $\tau$ .

Τότε $\hat{\omega}= \dfrac{arc {\rm A}\Gamma - arc {\rm B}\Delta}{2} = \dfrac{(\nu-x-2)\tau - x\tau}{2} =(\nu-2x-2)\frac{\tau}{2}$ .

Το μέτρο της γωνίας $\hat{\omega}$ γίνεται ελάχιστο, όταν η παράσταση $\nu-2x-2$ γίνει ελάχιστη.

Αν ο $\nu$ είναι περιττός τότε η ελάχιστη τιμή της θα είναι

οπότε $\: \hat{\omega}_{min}=\dfrac{\tau}{2}=\dfrac{180^0}{\nu}$ .

Αν ο $\nu$ είναι άρτιος τότε η ελάχιστη τιμή της θα είναι

οπότε $\: \hat{\omega}_{min}=2\dfrac{\tau}{2}=\dfrac{360^0}{\nu}$ .

Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Re: Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Re: Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Re: Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Re: Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Re: Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Re: Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Re: Μικρότερη γωνία από πλευρές κανονικού 17-γώνου

Μέλη σε σύνδεση