Λόγος εμβαδών.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (7.17 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο, $DE\parallel CF$ και $EC\parallel BF$ .
Αν $\dfrac{EC}{BF}=2$ , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(ABCD)}{(BHF)}$ .

#2

Πρώτα- πρώτα τα $\vartriangle EDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FBC$ είναι ορθογώνια . Έχουν δε τις υποτείνουσες ίσες

Και $\widehat \theta = \widehat {{\theta _1}}$ ως συμπληρώματα της γωνίας $\widehat {ECB}$ και άρα είναι ίσα .

Θα έχουν έτσι $CE = CF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE = BF$ . Αλλά αφού CE = 2BF

αν θέσω

$DE = BF = x\,\, \Rightarrow CE = CF = 2x$ .

Κατασκευή :

: Λόγος εμβαδών.png (26.87 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

Γράφω μέσα στο τετράγωνο ημικύκλιο διαμέτρου

και τον απολλώνιο κύκλο για

κάθε σημείο

του οποίου ισχύει $\dfrac{{MC}}{{MD}} = 2$ . Η τομή τους μα δίδει το

.

Μετά κατασκευάζω το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο CEF

.

Υπολογισμός λόγου .

Αν (HBF) = N

τότε κι αφού CH = 2HF

θα είναι

.

Αλλά $(EDC) = {x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{5} \Rightarrow {a^2} = 15N \Rightarrow \boxed{\dfrac{{(ABCD)}}{{(EDC)}} = 15}$ .

Ιστοσελίδα · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 10:37 pm

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο, $DE\parallel CF$ και $EC\parallel BF$ .
Αν $\dfrac{EC}{BF}=2$ , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(ABCD)}{(BHF)}$ .

: shape.png (8.46 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

Τα ορθογώνια τρίγωνα CDE,CBF

είναι ίσα ( $CD = CB = a\,\& \,\angle CDE = \angle CBE = \omega$ ) και το $\triangleleft CEF$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Από $\dfrac{{EC}}{{BF}} = 2$ και από Πυθαγόρειο παίρνουμε $CE = 2DE = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$

Αφού

διχοτόμος της $\angle CFB$ θα ισχύει: $(BHF) = \dfrac{{(CFB)}}{3} = \dfrac{{{a^2}}}{{15}}$ , οπότε $\dfrac{{(ABCD)}}{{(BHF)}} = 15$

#4

: TETRAGONO.png (25.64 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Άλλη μία ιδέα με τη βοήθεια του σχήματος.
Τα σημεία M, N, L

είναι μέσα των αντίστοιχων πλευρών των τετραγώνων ABCD, BCZQ

και το σημείο

διαιρεί την

σε λόγο 1:2 λόγω των όμοιων τριγώνων BHF, EHC

. Έτσι

, καθώς

.
Καλή σαρακοστή σε όλη την παρέα!

STOPJOHN · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 10:37 pm
1.png

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο, $DE\parallel CF$ και $EC\parallel BF$ .
Αν $\dfrac{EC}{BF}=2$ , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{(ABCD)}{(BHF)}$ .

Καλημέρα Καλή Σαρακοστή

Εστω $(BHF)=E_{0}$ , BF=x,EC=2x,

Απο τα όμοια τρίγωνα EHC,HBF

είναι
$\dfrac{EH}{HF}=\dfrac{HC}{HB}\Leftrightarrow HB=\dfrac{a}{3},HC=\dfrac{2a}{3},EH=2HF,(EHC)=4E_{0}$
Από το ορθογώνιο τραπέζιο $EBFC,(HFC)=(HEB)=2E_{0},$
Από τα ισα τρίγωνα DEC,CBF,EC=DF=2x

Συνεπώς στο ορθογώνιο τρίγωνο $BCF,4x^{2}+x^{2}=a^{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{5}}{5},sin\hat{EDC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5},$
Οπότε $E_{0}=\dfrac{a^{2}}{15},\dfrac{(ABCD)}{(HBF)}=\dfrac{a^{2}}{E_{0}}=15$

Λόγος εμβαδών.

Λόγος εμβαδών.

Re: Λόγος εμβαδών.

Re: Λόγος εμβαδών.

Re: Λόγος εμβαδών.

Re: Λόγος εμβαδών.

Μέλη σε σύνδεση