Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη

KARKAR · #1

: Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

Το τμήμα

είναι παράλληλο προς μια ευθεία $\varepsilon$ και είναι γνωστό το μέσο του

.

Θέλουμε να τριχοτομήσουμε το τμήμα , διαθέτοντας μόνο κανόνα . Λοιπόν , από τυχαίο

σημείο

του επιπέδου , φέρω τμήματα SAP

και

και ονομάζω C,D

τις τομές των PM,QA

και

αντίστοιχα . Αν οι SC,SD

τέμνουν το

στα σημεία L , N

, τότε

. Αν δεν μπορείτε να επινοήσετε

άλλον τρόπο , δείξτε τουλάχιστον ότι ο παραπάνω είναι σωστός

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 08, 2018 7:47 pm
Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη.pngΤο τμήμα είναι παράλληλο προς μια ευθεία $\varepsilon$ και είναι γνωστό το μέσο του .

Θέλουμε να τριχοτομήσουμε το τμήμα , διαθέτοντας μόνο κανόνα . Λοιπόν , από τυχαίο

σημείο του επιπέδου , φέρω τμήματα και και ονομάζω

τις τομές των και αντίστοιχα . Αν οι τέμνουν το

στα σημεία , τότε . Αν δεν μπορείτε να επινοήσετε

άλλον τρόπο , δείξτε τουλάχιστον ότι ο παραπάνω είναι σωστός

Προφανώς και είναι σωστός ο τρόπος Θανάση. Ίσως όμως για άλλο φάκελο!. Όχι δύσκολο πρόβλημα. Αύριο η απάντηση αν δεν απαντηθεί

#3

Σχηματίζω τυχαίο τραπέζιο ABCD

με τη βάση

στην ευθεία $(\varepsilon )$ .

Ας είναι

το σημείο τομής των διαγώνιων του .

Τότε ως γνωστό η

θα διέρχεται από το μέσο

του

και από το σημείο

τομής

των μη παραλλήλων πλευρών του . Φέρνω τώρα τις NA,NB

που τέμνουν τις διαγώνιες $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ στα Q,P

.

Ας είναι δε

το σημείο τομής των $SP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ . Του τετραπλεύρου ADNM

οι απέναντι πλευρές του τέμνονται στα S,C

. (πλήρες τετράπλευρο)

: τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη.png (25.13 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

Η πολική του

ως προς τις $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM$ είναι η

και η δέσμη :

$(SA,SM\backslash ST,SB)$ είναι αρμονική συνεπώς :

$\dfrac{{TA}}{{TM}} = \dfrac{{BA}}{{BM}} = 2 \Rightarrow \boxed{TA = 2TM} \Rightarrow \boxed{TA = \dfrac{1}{3}AB}$ το αυτό επιτυγχάνουμε αν φέρουμε την

ευθεία

.

Στην περίπτωση του Θανάση είναι μια από τα ίδια.

Θεωρώ τώρα το πλήρες τετράπλευρο APKM

με τα διαγώνια σημεία S,B

.

Τώρα η πολική του

ως προς τις SA,SM

είναι η

, η τετράδα : $(A,M\backslash L,B)$ αρμονική κ. λ. π.

Ίσως όμως λόγω φακέλου « Ο Άρχοντας του Κάμπου» μας δώσει στοιχειώδη λύση .

KARKAR · #4

: Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη.png (18.43 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές

Ίσως το σχήμα - αν συμπληρωθεί με λίγα λόγια - δίνει μία απάντηση ...

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 08, 2018 7:47 pm
Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη.pngΤο τμήμα είναι παράλληλο προς μια ευθεία $\varepsilon$ και είναι γνωστό το μέσο του .

Θέλουμε να τριχοτομήσουμε το τμήμα , διαθέτοντας μόνο κανόνα . Λοιπόν , από τυχαίο

σημείο του επιπέδου , φέρω τμήματα και και ονομάζω

τις τομές των και αντίστοιχα . Αν οι τέμνουν το

στα σημεία , τότε . Αν δεν μπορείτε να επινοήσετε

άλλον τρόπο , δείξτε τουλάχιστον ότι ο παραπάνω είναι σωστός

Καλημέρα
Εστω AL=x,LN=y,NB=z,PK=w,

Από τα όμοια τρίγωνα $ACM,PCQ,\dfrac{PC}{CM}=\dfrac{QC}{AC}=\dfrac{PQ}{AM}=\dfrac{2PQ}{a}$
Ομοίως από τα όμοια τρίγωνα $MDB,PDQ,\dfrac{QD}{MD}=\dfrac{PD}{DB}=\dfrac{PQ}{MB}=\dfrac{2PQ}{a}$
Συνεπώς $\dfrac{PC}{CM}=\dfrac{QD}{MD},(1), AB//PQ\Leftrightarrow \dfrac{SA}{SP}=\dfrac{SB}{SQ},(2),$
Απο το θ.Μενελάου στο τρίγωνο PAM

με τέμνουσα $CLS,\dfrac{a-2x}{2x}\dfrac{SA}{SP}.\dfrac{PC}{CM}=1,(3)$
Από το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο MBQ

με τέμνουσα $DNS,\dfrac{a-2z}{2z}.\dfrac{SB}{SQ}.\dfrac{QD}{MD}=1,(4), (1),(2),(3),(4)\Rightarrow x=z\Leftrightarrow AL=NB,y=a-2x$
Θα αποδείξω ότι $x=\dfrac{a}{3}$
$AL//PK,\dfrac{SA}{SL}=\dfrac{SL}{SK}=\dfrac{x}{PK},\dfrac{SA}{SP}=\dfrac{x}{TQ}$

Αρα $PK=TQ=w,\frac{a}{2w+KT}=\dfrac{a-2x}{KT}\Leftrightarrow KT=\dfrac{w(a-2x)}{x},(**)$
Απο τα όμοια τριγωνα $LMC,PKC,\dfrac{LM}{PK}=\dfrac{CM}{PC}=\dfrac{LC}{KC}\Rightarrow \dfrac{a-2x}{2w}=\dfrac{MC}{PC}=\dfrac{AC}{CQ}=\dfrac{a}{2PQ}=\dfrac{a}{2(2w+KT)}\Leftrightarrow KT=w.\dfrac{4x-a}{a-2x},(*), (*),(**)\Rightarrow \dfrac{a-2x}{x}=\dfrac{4x-a}{a-2x}\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{3}$

Οπότε $x=y=z=\dfrac{a}{3}$

Γιάννης

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 28, 2018 7:16 am
Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη.png Ίσως το σχήμα - αν συμπληρωθεί με λίγα λόγια - δίνει μία απάντηση ...

: τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη_Κατά KARKAR_1.png (25.7 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές

Πράγματι:

Στο τραπέζιο MAPQ

από το σημείο τομής των διαγωνίων του

φέρνω παράλληλη προς τις βάσεις του( Δηλαδή η

) .που τέμνει την

στο

.

Το ίδιο κάνω στο τραπέζιο BMPQ

από το

και προκύπτει στην

το

.

Λόγω Ευκλειδείου ζητήματος τα σημεία E,C,D,Z

είναι συνευθειακά .

Επειδή $EC = CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD = DZ$ έχω EC = CD = DZ

και από το Θ. κεντρικής

δέσμης θα είναι AL = LN = NB

.

Παρατήρηση

Η παραλληλία της

με τις βάσεις του τραπεζίου προκύπτει με διάφορους τρόπους .

π. χ. Με Θ. Μενελάου στα τρίγωνα $MPB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MQA$ και διατέμνουσες αντίστοιχα

τις $\overline {KCA} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {KDB}$ .

Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη

Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη

Re: Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη

Re: Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη

Re: Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη

Re: Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη

Re: Τριχοτόμηση χωρίς διαβήτη

Μέλη σε σύνδεση